Calculate potential energy of a point charge -q placed along the axis due to a charge +Q uniformly distributed along a ring of radius R. Sketch PE, as a function of axial distance z from the centre of the ring. Looking at graph, can you see what would happen if -q is displaced slightly from the centre of the ring (along the axis)?

This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar

Let us take a point p to be at a distance z from the center of ring

V=K $\int \frac{dq}{r}=k$ $\frac{dq}{\sqrt[]{z^2+a^2}}$  = $\frac{k}{\sqrt[]{z^2+a^2}}\int dq$ = $\frac{kQ}{\sqrt[]{z^2+a^2}}$

 

U= w =qV= $\frac{kQ(-q)}{\sqrt[]{z^2+a^2}}$ = $\frac{-KQq}{\sqrt[]{z^2+a^2}}$

Charge would perform oscillations.

<p><span data-teams="true">This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>Let us take a point p to be at a distance z from the center of ring</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741859374phpAks35d_480x360.jpeg" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741859374phpAks35d.jpeg" alt="" width="209" height="125"></picture></div><div><p>V=K <span contenteditable="false"> <math> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> </math> </span><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&nbsp;= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> </math> </span> = <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>&nbsp;</p><p>U= w =qV= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <mo> (</mo> <mo>-</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>Q</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>Charge would perform oscillations.</p></div></div><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741859485phpQ4PKdO_480x360.jpeg" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741859485phpQ4PKdO.jpeg" alt="" width="116" height="101"></picture></div></div>

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