Consider a cycle tyre being filled with air by a pump. Let V be the volume of the tyre (fixed) and at each stroke of the pump ?V V ( ) of air is transferred to the tube adiabatically. What is the work done when the pressure in the tube is increased from P₁ to P₂?

<p><span data-teams="true">This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>For adiabatic change process we know</p><p>P₁V₁^y= P₂V₂^y</p><p>P (V+<span contenteditable="false"> <math> <mo>? </mo> <mi>V</mi> </math> </span>)^y = (P+<span contenteditable="false"> <math> <mo>? </mo> <mi>P</mi> </math> </span>)V^y</p><p>PV^y (1+<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>) ^y=p (1+<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>)V^y</p><p>PV^y (1+<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>) <span contenteditable="false"> <math> <mo>≈</mo> </math> </span>PV^y (1+<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>)</p><p>Y<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>? </mo> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>dV=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </math> </span></p><p>hence work done increasing the pressure from P₁ to P₂</p><p>W=<span contenteditable="false"> <math> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mi>d</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>d</mi> <mi>p</mi> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> </span></p><p>W=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>V</mi> </math> </span></p>

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