Find the gravitational force of attraction between the ring and sphere as shown in the diagram where the plane of the ring is perpendicular to the joining the centres. If $\sqrt[]{8}R$  is the distance between the centres of a ring (of mass ‘m’) and a sphere (mass ‘M’) where both have equal radius ‘R’.

Correct Option - 3


Detailed Solution:

Method – I:

$F=M_{sphere}{E}_{ring}=M\times \frac{Gmx}{{\left(R^2+x^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}=M\times \frac{Gmx\sqrt[]{8}R}{{\left(R^2+8R^2\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}=\frac{\sqrt[]{8}GMm}{27R^2}$

Method – II:

$F={\displaystyle \int dFcos\theta =cos\theta {\displaystyle \int \left(dm\right)\frac{GM}{\left(R^2+8R^2\right)}=\frac{\sqrt[]{8}GMm}{27R^2}}}$

<p>Method – I:</p><p><math><mrow><mi>F</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>p</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>r</mi><mi>e</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>g</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>M</mi><mo>×</mo><mfrac><mrow><mi>G</mi><mi>m</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>M</mi><mo>×</mo><mfrac><mrow><mi>G</mi><mi>m</mi><mi>x</mi><mroot><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot><mi>R</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac bevelled="true"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot><mi>G</mi><mi>M</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mn>7</mn><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math></p><p>Method – II:</p><p><math><mrow><mi>F</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mi>d</mi><mi>F</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>θ</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mi>d</mi><mi>m</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mfrac><mrow><mi>G</mi><mi>M</mi></mrow><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>8</mn><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mn>8</mn></mrow><mrow></mrow></mroot><mi>G</mi><mi>M</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mn>7</mn><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mstyle></mrow></math></p><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1755144703phpQfrNf3.jpeg" alt="" width="217" height="148" loading="lazy"></picture></div></div>

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