Four particle each of mass M, move along a circle of radius R under the action of their mutual gravitational attraction as shown in figure. The speed of each particle is:

 

Correct Option - 3


Detailed Solution:

For circular motion F_{net   $=\frac{M{V}^2}{R}$}

_{$\sqrt[]{2F}+F\text{'}=\frac{M{V}^2}{R}$}

$\sqrt[]{2}\frac{GMM}{{\left(\sqrt[]{2}R\right)}^2}+\frac{GMM}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{M{V}^2}{R}$                

$\frac{GM}{R}\left[\frac{1}{\sqrt[]{2}}+\frac{1}{4}\right]=V^2$              

$V=\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{GM}{R}\left(2\sqrt[]{2}+1\right)}$

 

<p>For circular motion F_{net &lt;!- [if gte mso 9]-&gt; &lt;!- [endif]-&gt;&nbsp;<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span>}</p><p>_{<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mi>F</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>'</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span>}</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>R</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>R</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <msup> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&lt;!- [if gte mso 9]-&gt; &lt;!- [endif]-&gt;&nbsp;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> [</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&lt;!- [if gte mso 9]-&gt; &lt;!- [endif]-&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1754471884php4Mn0en.jpeg" alt="" width="171" height="153" loading="lazy"></picture></div></div><p>&nbsp;</p>

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