If RE be the radius of Earth, then the ratio between the acceleration due to gravity at a depth 'r' below and a height 'r' above the earth surface is:

Option 1 - <math> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 2 - <math> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 3 - <math> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 4 - <math> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

2 Views|Posted 7 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

7 months ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

Acceleration due to gravity at r distance above the surface = $\frac{G M}{{(R + r)}^{2}}$

Acceleration due to gravity at r distance below the surface = $\frac{G M}{R^{3}} (R - r)$

So, ratio = $\frac{(R - r) {(R + r)}^{2}}{R^{3}} = \frac{(R - r) (R^{2} + r^{2} + 2 R r)}{R^{3}} = 1 + \frac{r}{R} - \frac{r^{2}}{R^{2}} - \frac{r^{3}}{R^{3}}$