Motion in two dimensions, in a plane can be studied by expressing position, velocity and acceleration as vectors in Cartesian co-ordinates where are unit vector along x and y directions, respectively and Ax and Ay are corresponding components of (Fig). Motion can also be studied by expressing vectors in circular polar co-ordinates as A=A_rr + $A_{θ} θ$ where ṝ =r/r=cos $θ i + s i n θ j$ and $θ = - s i n θ i + c o s θ j$ are unit vectors along direction in which ‘r’ and ‘q ’ are increasing.

(a) Express in terms of q.

(b) Show that both q are unit vectors and are perpendicular to each other.

(c) Show that d(r)/dt , where w =dq/dt q and dq/dt = -wr

(d) For a particle moving along a spiral given by r=aqr , where a = 1 (unit), find dimensions of ‘a’.

(e) Find velocity and acceleration in polar vector representation for particle moving along spiral described in (d) above.

5 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

4 months ago

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation – r=cos $θ ? + s i n θ$ ?…….1

$θ = - s i n θ ? + c o s θ ?$ …….2

Multiplying eq1 by sin $θ$ and 2 with cos $θ$ and adding

Rsin $θ + θ c o s θ = s i n θ c o s θ ? + {s i n}^{2} θ j + {c o s}^{2} θ ? - s i n θ c o s θ ?$

= ?( ${c o s}^{2} θ + {s i n}^{2} θ$ )=j

= rsin $θ + θ c o s θ = j$

n(rcos $θ - θ s i n θ$ )=i

b)r $θ = c o s θ ? + s i n θ ? (- s i n θ ? + c o s θ ?)$

= -cos $θ s i n θ + s i n θ . c o s θ = 0$ $θ = 90$

c)r=cos $θ ? + s i n θ ?$

dr/dt=d/dt(cos $θ ? + s i n θ ?$ )=w[-cos $θ ? + s i n θ ?$ ]

d)L= M^oLT⁰

e)a=1unit , r= $θ r = θ [c o s θ ? + s i n θ ?]$

v= dr/dt= $\frac{d θ}{d t} r + θ \frac{d}{d t} [c o s θ ? + s i n θ ?]$

v= $\frac{d θ}{d r} r + θ [- c o s θ ? + s i n θ ?] \frac{d θ}{d t}$

= $\frac{d θ}{d t} r + θ w θ = w r +$ w $θ θ$

a= $\frac{d}{d t} [w r + w θ θ] = \frac{d}{d t} [\frac{d θ}{d t} r + \frac{d θ}{d t} (θ θ)]$

a= $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} r + \frac{d θ}{d t}$ $\frac{d r}{d t} + \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} θ θ + \frac{d θ}{d t} \frac{d}{d t} (θ θ)$

= $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} r + w^{2} θ + \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} θ θ + w^{2} θ + w^{2} θ (- r)$

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT ExemplarExplanation – r=cos <math> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </math> ?…….1 <math> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> …….2Multiplying eq1 by sin <math> <mi>θ</mi> </math>  and 2 with cos <math> <mi>θ</mi> </math> and addingRsin <math> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> = ?( <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </math> )=j= rsin <math> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>j</mi> </math>  n(rcos <math> <mi>θ</mi> <mo>-</mo> <mi>θ</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </math> )=ib)r <math> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>)</mo> </math>  = -cos <math> <mi>θ</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> <math> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mn>90</mn> </math> c)r=cos <math> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> dr/dt=d/dt(cos <math> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> )=w[-cos <math> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> ]d)L= MoLT0e)a=1unit , r= <math> <mi>θ</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mi>θ</mi> <mo>[</mo> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>]</mo> </math> v= dr/dt= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>[</mo> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>]</mo> </math> v= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mo>[</mo> <mo>-</mo> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>]</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> = <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>w</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>w</mi> <mi>r</mi> <mo>+</mo> </math> w <math> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> </math> a= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>w</mi> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> a= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> = <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>w</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>θ</mi> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>w</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>w</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </math>

0 Upvotes 0 Downvotes

1 Answer

Similar Questions for you

Learn more about...

Most viewed information

Most viewed information

Share Your College Life Experience

Didn't find the answer you were looking for?

Need guidance on career and education? Ask our experts

Your Question