Show that when a string fixed at its two ends vibrates in 1 loop, 2 loops, 3 loops and 4 loops, the frequencies are in the ratio 1:2:3:4.

This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar

Let there are n number of loops in the string

length corresponding each loop is $\frac{\lambda }{2}$

So we can write L= $\frac{n\lambda }{2}$

$\lambda =\frac{2L}{n}$

v/ $v$ =2L/n

so frequency $v=\frac{n}{2L}$ v= $\frac{n}{2L}\sqrt[]{\frac{T}{\mu }}$

v $\propto n$

so $v_1:v_2:v_3:v_4=n_1:n_2:n_3:n_4$

= 1:2:3:4

<p><span data-teams="true">This is a short answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>Let there are n number of loops in the string</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745488221phpH9R49H_480x360.jpeg" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745488221phpH9R49H.jpeg" alt="" width="197" height="80"></picture></div></div><p>length corresponding each loop is <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>So we can write L= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>λ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>v/<span contenteditable="false"> <math> <mi>v</mi> </math> </span>=2L/n</p><p>so frequency <span contenteditable="false"> <math> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>v=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mroot> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>v<span contenteditable="false"> <math> <mo>∝</mo> <mi>n</mi> </math> </span></p><p>so <span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> </span></p><p>= 1:2:3:4</p>

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