Six point masses of mass m each are at the vertices of a regular hexagon of side l. Calculate the force on any of the masses.

This is a Long Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- consider a diagram having vertices A,B,C,D,E and F

AC= AG+GC=2AG

= 2lcos30⁰= 2l $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$

= $\sqrt[]{3}l=AE$

AD=AH+HJ+JD= lsin30⁰+l+lsin30⁰=2l

Force on mass m at A due to mass m at B is f₁= $\frac{Gmm}{l^2}$  along AB

Force on mass m at A due to mass m at C is f₂= $\frac{Gmm}{\sqrt[]{3}{l}^2}=\frac{G{m}^2}{3l^2}$  along AC

Force on mass m at A due to mass m at D is F₃= $\frac{Gmm}{({2l)}^2}=\frac{G{m}^2}{4l^2}$ along AD

Force on mass m at A due to mass m at E is F₄= $\frac{Gmm}{\sqrt[]{3}{l}^2}$ = $\frac{G{m}^2}{3l^2}$ along AE

Force on mass m at A due to mass m at F is F₅= $\frac{G{m}^2}{l^2}$  along AF

Resultant force due to F₁ and F₅ is F₁= $\sqrt[]{f_1^2+f_5^2+2f_1{f}_{2}cos60}$

= $\frac{\sqrt[]{3}G{m}^2}{3l^2}=\frac{G{m}^2}{\sqrt[]{3}{l}^2}$ along AD

So net force along AD = F₁+F₂+F₃= $\frac{G{m}^2}{l^2}+\frac{G{m}^2}{\sqrt[]{3}{l}^2}+\frac{G{m}^2}{4l^2}=\frac{G{m}^2}{l^2}\left(1+\frac{1}{\sqrt[]{3}}+\frac{1}{4}\right)$

<p>This is a Long Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p><strong>Explanation-&nbsp;</strong>consider a diagram having vertices A,B,C,D,E and F</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474551phpeZbJ0M_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474551phpeZbJ0M.jpeg" alt="" width="181" height="160"></picture></div></div><p>AC= AG+GC=2AG</p><p>= 2lcos30⁰= 2l<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mi>E</mi> </math> </span></p><p>AD=AH+HJ+JD= lsin30⁰+l+lsin30⁰=2l</p><p>Force on mass m at A due to mass m at B is f₁= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&nbsp;along AB</p><p>Force on mass m at A due to mass m at C is f₂= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <msup> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&nbsp;along AC</p><p>Force on mass m at A due to mass m at D is F₃= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>along AD</p><p>Force on mass m at A due to mass m at E is F₄=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>G</mi> <mi>m</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <msup> <mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> 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