The masses and radii of the earth and moon are (M₁, R₁) and (M₂, R₂) respectively. Their centres are at  a distance ‘r’ apart. Find the minimum escape velocity for a particle of mass ‘m’ to be projected from the middle of these two masses:

<p>at point P, </p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mi>K</mi> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>P</mi> <msub> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msubsup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo> {</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <msub> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <msub> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p>at infinity (ie for escaping from both masses)</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>G</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p>

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