The motion of a mass on a spring, with spring constant K is as shown in figure. The equation of motion is given by x(t) = 4 sin $ω t + B c o s ω t w i t h ω = \sqrt[]{\frac{K}{m}} .$ Suppose that at time t = 0, the position of mass is x(0) and velocity $υ (0),$ then its displacement can also be represented as x(t) = C cos $(ω t - ?),$ where C and $?$ are:

Option 1 -

$C = \sqrt[]{\frac{υ {(0)}^{2}}{ω^{2}} + x {(0)}^{2}}, ϕ = t a n^{- 1} (\frac{x (0) ω}{υ (0)})$

Option 2 -

$C = \sqrt[]{\frac{2 υ {(0)}^{2}}{ω^{2}} + x {(0)}^{2}}, ϕ = t a n^{- 1} (\frac{x (0) ω}{2 υ (0)})$

Option 3 -

$C = \sqrt[]{\frac{υ {(0)}^{2}}{ω^{2}} + x {(0)}^{2}}, ϕ = t a n^{- 1} (\frac{υ (0)}{x (0) ω})$

Option 4 -

$C = \sqrt[]{\frac{2 υ {(0)}^{2}}{ω^{2}} + x {(0)}^{2}}, ϕ = t a n^{- 1} (\frac{υ (0)}{x (0) ω})$

4 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

x (t) = A sin $ω$ t + B cos $ω t$

$\Rightarrow x (t) = \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} s i n (ω t + δ) = \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} c o s (ω t - (\frac{π}{2} - δ))$

At t = 0:

$x (0) = \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} s i n (δ)$

$v (0) = ω \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} c o s (δ)$

$\Rightarrow {(x (0))}^{2} + {(\frac{v (0)}{ω})}^{2} = A^{2} + B^{2}$

$t a n ? = t a n (\frac{π}{2} - δ) = c o t δ = \frac{v (0)}{x (0) ω}$

$\Rightarrow ? = t a n^{- 1} (\frac{v (0)}{x (0) ω})$

x (t) = A sin <math> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </math> <math><mrow></mrow></math> t + B cos <math> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> </mrow> </math> <math><mrow></mrow></math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> At t = 0: <math> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>?</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mi>δ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>δ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>?</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

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