The motion of a mass on a spring, with spring constant K is as shown in figure. The equation of motion is given by x(t) = 4 sin ω t + B c o s ω t w i t h ω = K m . Suppose that at time t = 0, the position of mass is x(0) and velocity υ ( 0 ) , then its displacement can also be represented as x(t) = C cos ( ω t − ? ) , where C and ? are:

x (t) = A sin ω t + B cos ω t ⇒ x ( t ) = A 2 + B 2 s i n ( ω t + δ ) = A 2 + B 2 c o s ( ω t − ( π 2 − δ ) ) At t = 0: x ( 0 ) = A 2 + B 2 s i n ( δ ) v ( 0 ) = ω A 2 + B 2 c o s ( δ ) ⇒ ( x ( 0 ) ) 2 + ( v ( 0 ) ω ) 2 = A 2 + B 2 t a n ? = t a n ( π 2 − δ ) = c o t δ = v ( 0 ) x ( 0 ) ω ⇒ ? = t a n − 1 ( v ( 0 ) x ( 0 ) ω )

The motion of a mass on a spring, with spring constant K is as shown in figure. The equation of motion is given by x(t) = 4 sin $ω t + B c o s ω t w i t h ω = \sqrt[]{\frac{K}{m}} .$ Suppose that at time t = 0, the position of mass is x(0) and velocity $υ (0),$ then its displacement can also be represented as x(t) = C cos $(ω t - ?),$ where C and $?$ are:

Option 1 - <math> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>υ</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mi>υ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

Option 2 - <math> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>υ</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>υ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

Option 3 - <math> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>υ</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>υ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

Option 4 - <math> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>υ</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mi>ω</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>υ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ω</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

20 Views|Posted 6 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

6 months ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

x (t) = A sin $ω$ t + B cos $ω t$

$\Rightarrow x (t) = \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} s i n (ω t + δ) = \sqrt[]{A^{2} + B^{2}} c o s (ω t - (\frac{π}{2} - δ))$