The terminal velocity $\left({\upsilon }_1\right)$ ${}_{}$ of the spherical rain drop depends on the radius (r) of the spherical rain drop as:

Correct Option - 3


Detailed Solution:

Let, Rain drop moving with terminal velocity v_t in the air F_b (Bnoyancy force) = $\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{air}g$  

$mg=\frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{air}g$

$F_v=\left(visconsforce\right)=6\pi \eta r{v}_T$

$F_b+F_v=mg$

$\Rightarrow \frac{4}{3}\pi r^3{\rho }_{air}g+6\pi \eta r{v}_T=\frac{4}{3}\pi r^3\rho g$

$v_T=\frac{2}{9}\frac{r^2}{\eta }\left(\rho -{\rho }_{air}\right)$

$v_T\propto r^2$

<p>Let, Rain drop moving with terminal velocity v_t in the air F_b (Bnoyancy force) = <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </math> </span>&nbsp;</p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1757385987phpdtNTI0.jpeg" alt="" width="138" height="126" loading="lazy"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>v</mi> <mi>i</mi> <mi>s</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mi>o</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mi>π</mi> <mi>η</mi> <mi>r</mi> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mi>π</mi> <mi>η</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>ρ</mi> <mi>g</mi> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>η</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>a</mi> <mi>i</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>∝</mo> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p>

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