The velocity of a small ball of mass $M$ and density $d$ , when dropped in a container filled with glycerine becomes constant after some time. If the density of glycerine is $\frac{d}{2}$ , then the viscous force acting on 2 the ball will be:

Correct Option - 1


Detailed Solution:

Mass $=\mathrm{M}$

Density of ball $=\mathrm{d}$

Density of glycerine $=\frac{\mathrm{d}}{2}$

${\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{s}}{\rho }_{\mathcal{l}}\mathrm{g}=\mathrm{V}\frac{\mathrm{d}}{2}\mathrm{g}$

${\mathrm{F}}_{\mathrm{g}}=\mathrm{M}\mathrm{g}=\mathrm{v}\mathrm{d}\mathrm{g}$

For constant velocity, ${\mathrm{F}}_{\text{net}}=0$

$\therefore {\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{F}}_{\mathrm{v}}=\mathrm{M}\mathrm{g}$

${\mathrm{F}}_{\mathrm{V}}=\mathrm{M}\mathrm{g}-{\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{g}-\frac{\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{g}}{2}=\frac{\mathrm{V}\mathrm{d}\mathrm{g}}{2}=\frac{\mathrm{M}\mathrm{g}}{2}$

 

<p>Mass <span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">M</mi> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1756980322phpnjeiEU.jpeg" alt="" width="259" height="240" loading="lazy"></picture></div><div><p>Density of ball <span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">d</mi> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p>Density of glycerine <span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">V</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">s</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">g</mi> </math> </span><br>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </math> </span><br>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p>For constant velocity, <span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mtext>net</mtext> <mtext>&nbsp;</mtext> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </math> </span>&lt;!--[endif]--&gt;&lt;!--[endif]--&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>∴</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">v</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">V</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">F</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">V</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p></div></div><p>&nbsp;</p>

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