To light, a 50 W, 100 V lamp is connected, in series with a capacitor of a capacitance $\frac{50}{\pi \sqrt[]{x}}\mu F,$ with 200V, 50Hz AC source. The value of x will be________.

$R=\frac{v_2}{P}=\frac{10000}{50}\Rightarrow R=200\Omega$

$V=\sqrt[]{V_C^2+V_R^2}$

$\Rightarrow 200=\sqrt[]{V_C^2+{\left(100\right)}^2}$

$x_c=\frac{1}{{\omega }_c}=\frac{\pi \sqrt[]{x}}{100\pi \times 50}=\frac{\sqrt[]{x}}{5000\times 10^{-6}}=\frac{\sqrt[]{x}\times 10^3}{5}$

$=200\sqrt[]{x}$

$V_C=i{x}_C$

$\Rightarrow \sqrt[]{3}.\sqrt[]{1+x}=2\sqrt[]{x}$

$\Rightarrow 3\left(1+x\right)=4x\Rightarrow x=3$

<p><math><mrow><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>5</mn><mn>0</mn></mrow></mfrac><mo>⇒</mo><mi>R</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mi>Ω</mi></mrow></math></p><p><math><mrow><mi>V</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mn>2</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mo>=</mo><mroot><mrow><msubsup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>0</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p><math><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi><mroot><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mi>π</mi><mo>×</mo><mn>5</mn><mn>0</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mrow><mn>5</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>6</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot><mo>×</mo><mn>1</mn><msup><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mn>2</mn><mn>0</mn><mn>0</mn><mroot><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p><math><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>i</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>C</mi></mrow></msub></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mroot><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow></mrow></mroot><mo>.</mo><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot><mo>=</mo><mn>2</mn><mroot><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>⇒</mo><mn>3</mn><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>⇒</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></mrow></math></p><div class="photo-widget-full"><div class="figure"><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1753604110phpgpSruX.jpeg" alt="" width="199" height="127" loading="lazy"></picture></div></div>

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