Two bodies of mass m and 9m are placed at a distance R. The gravitational potential on the line joining the bodies where the gravitational field equals zero, will be ( G =  gravitational constant):

Correct Option - 3


Detailed Solution:

Let the gravitational field is zero at a distance x from the mass m.

$\frac{\mathrm{G}\mathrm{m}}{{\mathrm{x}}^2}=\frac{\mathrm{G}9\mathrm{m}}{(\mathrm{R}-\mathrm{x}{)}^2}$

$\Rightarrow \mathrm{R}-\mathrm{x}=3\mathrm{x}$ or $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{R}}{4}$

Gravitational potential at $\frac{\mathrm{R}}{4}$

$=-\frac{\mathrm{G}\mathrm{m}}{\frac{\mathrm{R}}{4}}-\frac{\mathrm{G}9\mathrm{m}}{\frac{3\mathrm{R}}{4}}$

$=-\frac{4\mathrm{G}\mathrm{m}}{\mathrm{R}}-\frac{12\mathrm{G}\mathrm{m}}{\mathrm{R}}$

$=-\frac{16\mathrm{G}\mathrm{m}}{\mathrm{R}}$

<div class="photo-widget-full"><div class="figure"><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1757045708php75yLKE.jpeg" alt="" width="261" height="76" loading="lazy"></picture></div></div><p>Let the gravitational field is zero at a distance x from the mass m.</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mn>9</mn> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mo>-</mo> <mi mathvariant="normal">x</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span><br>&lt;!- [endif]-&gt;&lt;!- [endif]-&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mi mathvariant="normal">R</mi> <mo>-</mo> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi mathvariant="normal">x</mi> </math> </span> or <span contenteditable="false"> <math> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&lt;!- [endif]-&gt;&lt;!- [endif]-&gt;</p><p>Gravitational potential at <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>&lt;!- [endif]-&gt;&lt;!- [endif]-&gt;</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mn>9</mn> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>12</mn> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>16</mn> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p></div></div>

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