Two identical positive charge Q each are fixed at a distance of ‘2a’ apart from each other. Another point charge q₀ with mass ‘m’ is placed at midpoint between two fixed charges. For a small displacement along the line joining the fixed charges, the charge q₀ executes SHM. The time period of oscillation of charge q₀ will be:

Correct Option - 1


Detailed Solution:

$F_R=\left\{\frac{kQ{q}_0}{{\left(a-x\right)}^2}-\frac{kQ{q}_0}{{\left(a+x\right)}^2}\right\}$

$=-kQ{q}_0\left\{\frac{a^2+x^2+2ax-a^2-x^2+2ax}{\left(a^2-x^2\right)}\right\}$

$F_R=-\frac{kQ{q}_0\left(4ax\right)}{{\left(a^2-x^2\right)}^2}$

$T=2\pi \sqrt[]{\frac{a^{3}m}{4kQ{q}_0}=\sqrt[]{\frac{4{\pi }^2{a}^{3}m\times 4\pi {\epsilon }_0}{4Q{q}_0}}}=\sqrt[]{\frac{4{\pi }^3{\epsilon }_{0}m{a}^3}{Q{q}_0}}$ .                          

   

<p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>4</mn> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>k</mi> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>m</mi> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> <msub> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; </strong> &lt;!-- [if gte mso 9]>&lt;xml&gt; <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content" ObjectID="_1815556740"> </o:OLEObject>&lt;/xml&gt;&lt;![endif]--&gt;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</p><p>&nbsp; &nbsp;</p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1754031414phpJmXvYi.jpeg" alt="" width="406" height="103" loading="lazy"></picture></div></div>

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