Verify the Ampere’s law for magnetic field of a point dipole of dipole moment m = mk . Take C as the closed curve running clockwise along .

(i) The z-axis from z = a > 0 to z = R;

(ii) Along the quarter circle of radius R and centre at the origin, in the first quadrant of x-z plane;

(iii) Along the x-axis from x = R to x = a, and (iv) along the quarter circle of radius a and centre at the origin in the first quadrant of x-z plane.

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- the magnetic field induction at a pojnt z distance from dipole moment is

B= $\frac{{\mu }_o}{4\pi }\frac{2M}{z^3}$

Along z axis from p to q

${\int }_p^{Q}B.dl={\int }_P^{Q}Bdlcos0$ = ${\int }_P^{Q}Bdz$

= ${\int }_a^R\frac{{\mu }_o}{2\pi }\frac{M}{z^3}dz=\frac{{\mu }_{o}M}{2\pi }\left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{R^2}-\frac{1}{a^2}\right)$

= $\frac{{\mu }_{o}M}{4\pi }\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{R^2}\right)$

(b) the point A lies on the equatorial line of the magnetic dipole of moment Msin $\theta$

B= $\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Msin\theta }{R^3}$ dl= Rd $\theta$

$\int B.dl=\int Bdlcos\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Msin\theta }{R^3}Rd\theta$

Circular arc = $\frac{{\mu }_o}{4\pi }\frac{M}{R}(-cos\theta )$ = $\frac{{\mu }_o}{4\pi }\frac{M}{R^2}$

(c) along x axis over the path ST

From figure every point lies on the equatorial line of magnetic dipole so

B= $\frac{{\mu }_o}{4\pi }\frac{M}{x^3}$   the value of B is zero as the angle between M and dl is 90 

(d)along the quarter circle TP of radius a

B along circular arc $\int B.dl={\int }_{\pi /2}^0\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Msin\theta }{a^3}$ d $\theta$

B = $-\frac{{\mu }_o}{4\pi }\frac{M}{a^2}$

Net magnetic field through PQST  is zero

<p>This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar</p><p>Explanation- the magnetic field induction at a pojnt z distance from dipole moment is</p><p>B=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>z</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>Along z axis from p to q</p><p><span contenteditable="false"> <math> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mo>.</mo> <mi>d</mi> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mi>d</mi> <mi>l</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> 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