Verify the Gauss’s law for magnetic field of a point dipole of dipole moment m at the origin for the surface which is a sphere of radius R.

15 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

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Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

4 months ago

This is a Short Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- magnetic moment of dipole at origin o is

M=Mk

Magnetic field induction at p due to dipole moment

B= $\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 M c o s θ}{r^{3}}$ r

dS= r(rsin $θ d θ$ )r = (r^{2
$θ$}sind $θ r$ )

$\int B . d s$ = $\int \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 M c o s θ}{r^{3}}$ r(r²sin $θ d θ r$ )

$\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{M}{r} \int_{0}^{2 π} 2 s i n θ c o s θ d θ$

$\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{M}{r} \int_{0}^{2 π} s i n 2 θ d θ$

$\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{M}{r} (\frac{- c o s 2 θ}{2})$

$\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{M}{r}$ {cos4 $π - c o s 0$ }

$\frac{μ_{0}}{4 π} \frac{M}{r}$ (1-1)= 0

This is a Short Answer Type Questions as classified in NCERT ExemplarExplanation- magnetic moment of dipole at origin o isM=MkMagnetic field induction at p due to dipole momentB= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> rdS= r(rsin <math> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </math> )r = (r2 <math> <mi>θ</mi> </math> sind <math> <mi>θ</mi> <mi>r</mi> </math> ) <math> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mo>.</mo> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mrow> </math>  = <math> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>M</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> r(r2sin <math> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> <mi>r</mi> </math> ) <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mn>2</mn> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> {cos4 <math> <mi>π</mi> <mo>-</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </math> } <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> (1-1)= 0

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