(M) Dividing numerator & denominator cos x we get,
tan -1
We know that = 1 so,
.
<p>Given tan <sup>-1</sup> <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span> , <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mo>−</mo><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>,</mo></mrow></math></span> x< <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p>(M) Dividing numerator & denominator cos x we get,</p><p>tan <sup>-1</sup> <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>.</mo></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p>We know that <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></math></span> = 1 so,</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></math></span> <span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mrow><mo>{</mo><mrow><mo>?</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mrow><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>·</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></math></span></p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow></math></span> .</p>
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