Ask & Answer Question

Maths Class 11th Ncert Solutions Maths class 11th Limits and Derivatives

42. Find the derivative of the following functions:

(i)sin x cos x (ii) $s e c x$ (iii)5 sec x + 4 cosx

(iv) $c o s e c x$ (v)3cot x + 5 cosec x

(vi) $5 s i n x - 6 c o s x + 7$ (vii) $2 t a n x - 7 s e c x$

5 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

3 months ago

(i) f(x)=sin x cos x

So, $f^{?} (x) = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{f (x + h) ? f (x)}{h}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{s i n (x + h) c o s (x + h) ? s i n x c o s x}{h}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{2 h} * [2 s i n (x + h) c o s (x + h) ? 2 s i n x c o s x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{2 h} [s i n 2 (x + h) ? s i n 2 x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{2 h} [2 c o s \frac{2 (x + h) + 2 x}{2} s i n \frac{2 (x + h) ? 2 x}{2}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [c o s (2 x + h) s i n h]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} c o s (2 x + h) * \underset{h ? 0}{l i m} \frac{s i n h}{h}$

$= c o s (2 x + 0)$

$= c o s 2 x$

$(ii) f (x) = s e c x$

So, $f^{?} (x) = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{f (x + h) ? f (x)}{h}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [s e c (x + h) ? s e c x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{1}{c o s (x + h)} ? \frac{1}{c o s x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{c o s x ? c o s (x + h)}{c o s (x + h) c o s x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{? 2 s i n (\frac{x + x + h}{2}) s i n (\frac{x ? (x + h)}{2})}{c o s (x + h) c o s x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [? \frac{2 s i n (\frac{2 x + h}{2}) s i n (? h / 2)}{c o s (x + h) c o s x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{(? 1 s i n (\frac{2 x + h}{2})}{c o s (x + h) c o s x} * \underset{h ? 0}{l i m} (? 1) \frac{s i n h / 2}{h / 2}$

$= \frac{s i n x}{c o s x ? c o s x} * 1$

$= t a n x ? s e c x .$

(iii) Given f(x)=5 sec x+4 cosx.

So, $f^{?} (x) = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{f (x + h) ? f (x)}{h}$

$\begin{array}{l} = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5 s e c (x + h) + 4 c o s (x + h) ? [5 s e c x + 4 c o s x]}{h} . \end{array}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [s e c (x + h) ? s e c x] + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{4}{h} [c o s (x + h) ? c o s x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{1}{c o s (x + h)} ? \frac{1}{c o s x}] + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{4}{h} [? 2 s i n (\frac{x + h + x}{2}) s i n (\frac{x + h ? x}{2})]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{c o s x ? c o s (x + h)}{c o s (x + h) (c o s x)}] + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{4}{h} [? 2 s i n (\frac{2 x + h}{2}) s i n \frac{h}{2}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [? \frac{2 s i n (\frac{2 x + h}{2}) s i n (? h / 2)}{c o s (x + h) c o s x}] ? 4 \underset{h ? 0}{l i m} s i n (\frac{2 x + h}{2}) \underset{h ? 0}{l i m} \frac{s i n h / 2}{h / 2}$

$= \frac{s i n (\frac{2 x + 0}{2})}{c o s (x + 0) c o s x} * 1 ? 4 s i n (\frac{2 x}{2})$

$= 5 \frac{s i n x}{c o s x} ? \frac{1}{c o s x} ? 4 s i n x$

$= 5 t a n x ? s e c x ? 4 s i n x$

$(iv) Given f (x) = c o s e c x$

$f^{?} (x) = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{f (x + h) ? f (x)}{h}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [c o s e c (x + h) ? c o s e c x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{1}{s i n (x + h)} ? \frac{1}{s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{s i n x ? s i n (x + h)}{s i n (x + h) s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{2 c o s (\frac{x + x + h}{2}) s i n (\frac{x ? (x + h)}{2})]}{s i n (x + h) s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{2 c o s (\frac{x + x + h}{2}) s i n (\frac{x ? (x + h)}{2})}{s i n (x + h) s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{1}{h} [\frac{2 c o s (\frac{2 x + h}{2}) s i n (? h / 2)]}{s i n (x + h) s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{c o s (\frac{2 x + h}{2})}{s i n (x + h) s i n x} * \frac{(? 1) s i n (2)}{h / 2})$

$= \frac{c o s (\frac{2 x + 0}{2})}{s i n (x + 0) s i n x} * (? 1)$

$= ? \frac{c o s x}{s i n x} * \frac{1}{s i n x}$

$= ? c o t x ? c o s e c x$

(v) Given,f(x)=3 cot x+5cosecx.

So, $f^{?} (x) = \underset{h ? 0}{l i m} \frac{f (x + h) ? f (x)}{h}$ $= \frac{2}{c o s (x + 0) c o s x} * 1 + 7 s i n (\frac{2 x + 0}{2}) * (? 1)$

$= \underset{h ? 0}{l i m} 3 c o t (x + h) + 5 c o s e c (x + h) ? [3 c o t x + 5 c o s x)$

$_{h ? 0} \frac{3}{h} [c o t (x + h) ? c o t x] + \underset{h ? 0}{l i m}$

$= ? \frac{5}{h} [c o s e c (x + h) ? c o s e c x]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{3}{h} [\frac{c o s (x + h)}{s i n (x + h)} ? \frac{c o s x}{s i n x}] + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{1}{s i n (x + h)} ? \frac{1}{s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{3}{h} [\frac{c o s (x + h) s i n x ? c o s x s i n (x + h)}{s i n (x + h) s i n x}] + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{s i n x ? s i n (x + h)}{s i n (x + h) s i n x}]$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{3}{h} [\frac{s i n (x ? (x + h))}{s i n (x + h) s i n x} + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{2 c o s (\frac{x + x + h}{2}) s i n (\frac{x ? (x + h)}{2})}{s i n (x + h) s i n x}$

$= \underset{h ? 0}{l i m} \frac{3}{s i n (x + h) s i n x} * \underset{h ? 0}{l i m} (? 1) \frac{s i n h}{h} + \underset{h ? 0}{l i m} \frac{5}{h} [\frac{2 c o s (\frac{2 x + h}{2}) s i n (? h / 2)}{s i n (x + h) s i n x}$

$= \frac{3}{s i n x ? s i n x} * (? 1) + 5 \underset{h(i) f(x)=sin x cos xSo, <math><mrow><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mo>?</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>h</mi><mo>?</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>?</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></mfrac></mrow></math><math><mrow><mo>=</mo><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>h</mi><mo>?</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>h</mi><mo 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R Raj Pandey lim (x→0) [a e? - b cos (x) + c e? ] / (x sin (x) = 2 Using Taylor expansions around x=0: lim (x→0) [a (1+x+x²/2!+.) - b (1-x²/2!+.) + c (1-x+x²/2!+.)] / (x * x) = 2 lim (x→0) [ (a-b+c) + x (a-c) + x² (a/2+b/2+c/2) + O (x³)] / x² = 2 For the limit to exist, the coefficients of lower powers of x in the numerator must be zero. a - b + c = 0 a - c = 0 ⇒ a = c Substituting a=c into the first equation: 2a - b = 0 ⇒ b = 2a. The limit becomes: lim (x→0) [x² (a/2 + b/2 + c/2)] / x² = (a+b+c)/2 (a + b + c) / 2 = 2 ⇒ a + b + c = 4. lim [x→2] (3? + 3³?? - 12) / (3??/² - 3¹??) is equal to A alok kumar singh Let t = 3^ (x/2). As x→2, t→3^ (2/2) = 3. The limit becomes lim (t→3) [ (t² + 27/t²) - 12 ] / [ (t - 3²/t) ]. lim (t→3) [ (t? - 12t² + 27)/t² ] / [ (t² - 9)/t ]. lim (t→3) [ (t²-9) (t²-3) / t² ] * [ t / (t²-9) ]. lim (t→3) [ (t²-3) / t ]. Substituting t=3: (3²-3)/3 = (9-3)/3 = 6. (The provided solution arrives at 36, let's re-check the problem statement) The denominator is t - 9/t, not t - 3²/t. lim (t→3) [ (t²-9) (t²-3) / t² ] * [ t / (t-3) (t+3)/t ] This leads to the same cancellation. Let's re-examine the image's steps. lim (t-3 ...more Let t = 3^ (x/2). As x→2, t→3^ (2/2) = 3. The limit becomes lim (t→3) [ (t² + 27/t²) - 12 ] / [ (t - 3²/t) ]. lim (t→3) [ (t? - 12t² + 27)/t² ] / [ (t² - 9)/t ]. lim (t→3) [ (t²-9) (t²-3) / t² ] * [ t / (t²-9) ]. lim (t→3) [ (t²-3) / t ]. Substituting t=3: (3²-3)/3 = (9-3)/3 = 6. (The provided solution arrives at 36, let's re-check the problem statement) The denominator is t - 9/t, not t - 3²/t. lim (t→3) [ (t²-9) (t²-3) / t² ] * [ t / (t-3) (t+3)/t ] This leads to the same cancellation. Let's re-examine the image's steps. lim (t-3) (t³ - 27)/ (t-3) . The algebra in the image is hard to follow but seems to manipulate the expression to get (t²-3) (t+3) (t-3) / (t-3), leading to (3²-3) (3+3) = 6*6 = 36. less If α is the positive root of the equation, p(x) = x² − x − 2 = 0, then lim┬(x→∞)⁡〖√(1-cos(p(x)))/(x+α-4)〗 is equal to A alok kumar singh P (x) = 0 x² - x - 2 = 0 (x-2) (x+1) = 0 x = 2, -1 ∴ α = 2 Now lim (x→2? ) (√ (1-cos (x²-x-2) / (x-2) ⇒ lim (x→2? ) (√ (2sin² (x²-x-2)/2) / (x-2) ⇒ lim (x→2? ) (√2 sin (x²-x-2)/2) / (x²-x-2)/2) ⋅ (x²-x-2)/2) ⋅ (1/ (x-2) ⇒ for x→2? , (x²-x-2)/2 → 0? ⇒ lim (x→2? ) √2 ⋅ 1 ⋅ (x-2) (x+1)/ (2 (x-2) = 3/√2var postBodyTracking = 'null';Taking an Exam? Selecting a College? Get authentic answers from experts, students and alumni that you won't find anywhere else Sign Up on Shiksha On Shiksha, get access to 65k Colleges 1.2k Exams 688k Reviews 1800k Answers Learn more about... 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42. Find the derivative of the following functions:

(i)sin x cos x (ii) $s e c x$ (iii)5 sec x + 4 cosx

(iv) $c o s e c x$ (v)3cot x + 5 cosec x

(vi) $5 s i n x - 6 c o s x + 7$ (vii) $2 t a n x - 7 s e c x$

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42. Find the derivative of the following functions: (i)sin x cos x (ii)secx (iii)5 sec x + 4 cosx (iv) cosecx (v)3cot x + 5 cosec x (vi) 5sinx−6cosx+7 (vii) 2tanx−7secx

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42. Find the derivative of the following functions:

(i)sin x cos x (ii) $s e c x$ (iii)5 sec x + 4 cosx

(iv) $c o s e c x$ (v)3cot x + 5 cosec x

(vi) $5 s i n x - 6 c o s x + 7$ (vii) $2 t a n x - 7 s e c x$