42. $ta{n}^{-1}\frac{63}{16}=si{n}^{-1}\frac{5}{13}+co{s}^{-1}\frac{3}{5}$

Let $si{n}^{-1}\frac{5}{13}=x\text{\hspace{0.17em}and}co{s}^{-1}\frac{3}{5}=y.$

Then, $sinx=\frac{5}{13}andcos=\frac{3}{5}$

So, $tanx=\frac{sinx}{cosx}andtany=\frac{siny}{cosy}$

$=\frac{5/3}{12/1}=\frac{4/5}{3/5}.$

$=\frac{5}{12}=\frac{4}{3}.$

Using $tan(x+y)=\frac{lanx+lany}{1-tanxtany.}$

tan $\left(si{n}^{-1}\frac{5}{13}+co{s}^{-1}\frac{3}{5}\right)=\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12}\times \frac{4}{3}}=$ $\frac{\frac{5\times 3+4\times 12}{12\times 3}}{\frac{12\times 3-5\times 4}{12\times 3}}$

$=\frac{15+48}{36-20}=\frac{63}{16}$

$\Rightarrow si{n}^{-1}\frac{5}{13}+co{s}^{-1}\frac{3}{5}=ta{n}^{-1}\frac{63}{16}.$

Hence proved.

<p>Let&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>x</mi><mtext> and </mtext><mi>c</mi><mi>o</mi><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>.</mo></mrow></math></span></p><p>Then,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>3</mn></mrow></mfrac><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mtext> </mtext><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1732613196phpzyNw7U_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1732613196phpzyNw7U.jpeg" alt="" width="389" height="89"></picture></div></div><p>So,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>d</mi><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>y</mi></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo>/</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></span></p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></span></p><p>Using&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>l</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>x</mi><mi>t</mi><mi>a</mi><mi>n</mi><mi>y</mi><mo>.</mo></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p>tan&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>=</mo></mrow></math></span>&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mfrac><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>5</mn><mo>×</mo><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mn>5</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mn>8</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mn>6</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mn>0</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow></mfrac></mrow></math></span></p><p><span title="Click to copy mathml"><math><mrow><mo>⇒</mo><mi>s</mi><mi>i</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>3</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>a</mi><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mfrac><mrow><mn>6</mn><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>6</mn></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></span></p><p>Hence proved.</p>

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