If two circle x2 + y2 = 4 and x2 + y2 – 4lx + 9 = 0 intersect at two distinct points, then find the range of l.

|r1 – r2| < c1c2 < r1 + r2-> | 2 − 4 λ 2 − 9 | < | 2 λ | < 2 + 4 λ 2 − 9 | 2 λ | − 2 < 4 λ 2 − 9    4 λ 2 + 4 − 8 | λ | < 4 λ 2 − 9 λ > 1 3 8 , λ < − 1 3 8  4 λ 2 − 9 > 0 λ > 3 2 , λ < − 3 2 λ ∈ ( − ∞ , − 1 3 8 ) ∪ ( 1 3 8 , ∞ ) Now, | 2 − 4 λ 2 − 9 | < | 2 λ |  4 + 4 λ 2 − 9 − 4 4 λ 2 − 9 < 4 λ 2   4 4 λ 2 − 9 > − 5 ⇒ λ ∈ R   λ ∈ ( − ∞ , − 1 3 8 ) ∪ ( 1 3 8 , ∞ )

If two circle x2 + y2 = 4 and x2 + y2 – 4lx + 9 = 0 intersect at two distinct points, then find the range of l.

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Straight Lines Ncert Solutions Maths class 11th Maths Class 11th

If two circle x² + y² = 4 and x² + y² – 4lx + 9 = 0 intersect at two distinct points, then find the range of l.

Option 1 -

$(- \infty, - \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$

Option 2 -

$(- \infty, - \frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$

Option 3 -

$[- \frac{13}{8}, \frac{13}{8}]$

Option 4 -

$λ \in (\frac{3}{2}, \infty)$

2 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 2

Detailed Solution:

|r₁ – r₂| < c₁c₂ < r₁ + r₂

-> $| 2 - \sqrt[]{4 λ^{2} - 9} | < | 2 λ | < 2 + \sqrt[]{4 λ^{2} - 9}$

$| 2 λ | - 2 < \sqrt[]{4 λ^{2} - 9}$

$4 λ^{2} + 4 - 8 | λ | < 4 λ^{2} - 9$

$λ > \frac{13}{8}, λ < - \frac{13}{8}$

$\sqrt[]{4 λ^{2} - 9} > 0$

$λ > \frac{3}{2}, λ < - \frac{3}{2}$

$λ \in (- \infty, - \frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$

Now,

$| 2 - \sqrt[]{4 λ^{2} - 9} | < | 2 λ |$

$4 + 4 λ^{2} - 9 - 4 \sqrt[]{4 λ^{2} - 9} < 4 λ^{2}$

$4 \sqrt[]{4 λ^{2} - 9} > - 5 \Rightarrow λ \in R$

$λ \in (- \infty, - \frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$

|r1 – r2| < c1c2 < r1 + r2-> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>λ</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>λ</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo><</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>     <math> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>−</mo> <mn>8</mn> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> </math>   <math> <mrow> <mi>λ</mi> <mo>></mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>λ</mi> <mo><</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>            <math> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>λ</mi> <mo>></mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>λ</mi> <mo><</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mo>∞</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∪</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>∞</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>           Now, <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>λ</mi> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </math>             <math> <mrow> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo><</mo> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math>    <math> <mrow> <mn>4</mn> <mroot> <mrow> <mn>4</mn> <msup> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>></mo> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo>⇒</mo> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mi>R</mi> </mrow> </math>    <math> <mrow> <mi>λ</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mo>∞</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∪</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>∞</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>

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If two circle x² + y² = 4 and x² + y² – 4lx + 9 = 0 intersect at two distinct points, then find the range of l.

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