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Given f(x) = ∫ e x e t f ( t ) d t + e x . . . . . . . . . . ( i )  using Leibniz rule thenf’(x) = exf(x) + ex ⇒ d y d x = e x y + e x w h e r e y = f ( x ) t h e n d y d x = f ' ( x ) P = -ex, Q = exSolution be y. (I.F.) =  ∫ Q ( I . F . ) d x + c I. f. =  e ∫ − e x d x = e − e x ⇒ y . ( e − e x ) = ∫ e x . e − e x d x + c  y . e − e x = − ∫ d t + c = − t + c = − e − e x + c . . . . . . . . . . ( i i ) Put x = 0 , in (i) f (0) = 1 F r o m ( i i ) , 1 e = − 1 e + c g i v e n c = 2 e Hence f(x) = 2. e ( e x − 1 ) − 1

Let f(x) =&nbsp; <math> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math> <math><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mrow></mrow><mrow></mrow></munderover><mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><mrow><mrow></mrow></mrow><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup></mrow></mrow></mstyle></mrow></math>&nbsp;be a differentiable function for all x <math> <mrow> <mo>∈</mo> </mrow> </math> <math><mrow></mrow></math>&nbsp;R. Then f(x) equals:

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Maths Class 12th Maths Continuity and Differentiability

Let f(x) = $\int_{0}^{x} e^{t} f (t) d t + e^{x}$ $^{}^{}$ be a differentiable function for all x $\in$ R. Then f(x) equals:

Option 1 -

$2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$

Option 2 -

$2 e^{e^{x}} - 1$

Option 3 -

$e^{e^{x}} - 1$

Option 4 -

$e^{(e^{x} - 1)}$

2 Views | Posted 2 weeks ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

2 weeks ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Given f(x) = $\int_{e}^{x} e^{t} f (t) d t + e^{x} . . . . . . . . . . (i)$

using Leibniz rule then

f’(x) = e^xf(x) + e^x

_{$\Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{x} y + e^{x} w h e r e y = f (x) t h e n \frac{d y}{d x} = f' (x)$}

P = -e^x, Q = e^x

Solution be y. (I.F.) = $\int Q (I . F .) d x + c$

I. f. = $e^{\int - e^{x} d x = e^{- e^{x}}}$

$\Rightarrow y . (e^{- e^{x}}) = \int e^{x} . e^{- e^{x}} d x + c$

$y . e^{- e^{x}} = - \int d t + c = - t + c = - e^{- e^{x}} + c . . . . . . . . . . (i i)$

Put x = 0 , in (i) f (0) = 1

$F r o m (i i), \frac{1}{e} = - \frac{1}{e} + c g i v e n c = \frac{2}{e}$

Hence f(x) = 2. $e^{(e^{x} - 1)} - 1$

Given f(x) = <math> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math>  using Leibniz rule thenf’(x) = exf(x) + ex  <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>w</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>e</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>'</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math>                P = -ex, Q = exSolution be y. (I.F.) =   <math> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>Q</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>I</mi> <mo>.</mo> <mi>F</mi> <mo>.</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math> I. f. =   <math> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>y</mi> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math>            <math> <mrow> <mi>y</mi> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </math>          Put x = 0 , in (i) f (0) = 1 <math> <mrow> <mi>F</mi> <mi>r</mi> <mi>o</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mtext> </mtext> <mi>g</mi> <mi>i</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>n</mi> <mtext> </mtext> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>        Hence f(x) = 2. <math> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </math>

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Let f(x) = $\int_{0}^{x} e^{t} f (t) d t + e^{x}$ $^{}^{}$ be a differentiable function for all x $\in$ R. Then f(x) equals:

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