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Physics Ncert Solutions Class 12th Physics Class 12th Atoms

12.13 Obtain an expression for the frequency of radiation emitted when a hydrogen atom de-excites from level n to level (n–1). For large n, show that this frequency equals the classical frequency of revolution of the electron in the orbit.

4 Views | Posted 5 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

5 months ago

12.13 It is given that a hydrogen atom de-excites from an upper level (n) to a lower level (n-1)

We have the relation for energy ( $E_{1}$ ) of radiation at level n as:

$E_{1}$ = h $?_{1}$ = $\frac{h m e^{2}}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}$ $* \frac{1}{{(n)}^{2}}$ ………………(i)

Where,

$?_{1}$ = Frequency of radiation at level n

h = Planck's constant

m = mass of hydrogen atom

e = charge of an electron

$?_{0}$ = Permittivity of free space

Now, the relation for energy ( $E_{2}$ ) of radiation at level (n-1) is given as:

$E_{2}$ = h $?_{2}$ = $\frac{h m e^{2}}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}$ $* \frac{1}{{(n - 1)}^{2}}$ ………………(ii)

Where,

$?_{2}$ = Frequency of radiation at level (n-1)

Energy (E) released as a result of de-excitation:

E = $E_{2} - E_{1}$

$h ?$ = $E_{2} - E_{1}$ …………………………(iii)

where,

$?$ = Frequency of radiation emitted

Putting valu

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12.13 It is given that a hydrogen atom de-excites from an upper level (n) to a lower level (n-1)

We have the relation for energy ( $E_{1}$ ) of radiation at level n as:

$E_{1}$ = h $?_{1}$ = $\frac{h m e^{2}}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}$ $* \frac{1}{{(n)}^{2}}$ ………………(i)

Where,

$?_{1}$ = Frequency of radiation at level n

h = Planck's constant

m = mass of hydrogen atom

e = charge of an electron

$?_{0}$ = Permittivity of free space

Now, the relation for energy ( $E_{2}$ ) of radiation at level (n-1) is given as:

$E_{2}$ = h $?_{2}$ = $\frac{h m e^{2}}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}$ $* \frac{1}{{(n - 1)}^{2}}$ ………………(ii)

Where,

$?_{2}$ = Frequency of radiation at level (n-1)

Energy (E) released as a result of de-excitation:

E = $E_{2} - E_{1}$

$h ?$ = $E_{2} - E_{1}$ …………………………(iii)

where,

$?$ = Frequency of radiation emitted

Putting values of equation (i) and (ii) in equation (iii), we get,

$?$ = $\frac{m e^{2}}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}$ $[\frac{1}{{(n - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(n)}^{2}}]$

= $\frac{m e^{2} (2 n - 1)}{{(4 ?)}^{2} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{2} n^{2} {(n - 1)}^{2}}$

For large n, we can write (2n-1) = 2n and (n-1) = n

Therefore, $?$ = $\frac{m e^{2}}{32 ?^{3} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{3} n^{3}}$ ……….(iv)

Classical relation of frequency of revolution of an electron is given as:

$?_{c}$ = $\frac{v}{2 ? r}$ ………………….(v)

Velocity of the electron in the $n^{t h}$ orbit is given as:

v = $\frac{e^{2}}{4 ? ?_{0} (\frac{h}{2 ?}) n}$ …………….(vi)

And, radius of the $n^{t h}$ orbit is given as:

r = $\frac{4 ? ?_{0} ({\frac{h}{2 ?})}^{2}}{m e^{2}} n^{2}$ ……………….(vii)

By putting the values of (vi) and (vii) in equation (v), we get

$?_{c}$ = $\frac{m e^{2}}{32 ?^{3} ?_{0}^{2} ({\frac{h}{2 ?})}^{3} n^{3}}$

Hence, the frequency of radiation emitted by the hydrogen atom is equal to its classical orbital frequency.

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12.13 It is given that a hydrogen atom de-excites from an upper level (n) to a lower level (n-1)We have the relation for energy ( <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> ) of radiation at level n as: <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>E</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> = h <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>?</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> = <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>h</mi> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>?</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>?</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> 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Frequency of radiation emittedPutting values of equation (i) and (ii) in equation (iii), we get, <math> <mi>?</mi> </math> = <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mi>?</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>?</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>?</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> <math> <mfenced open="[" close="]" separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> 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</mrow> </mrow> </mfrac> </math> Hence, the frequency of radiation emitted by the hydrogen atom is equal to its classical orbital frequency.

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12.13 Obtain an expression for the frequency of radiation emitted when a hydrogen atom de-excites from level n to level (n–1). For large n, show that this frequency equals the classical frequency of revolution of the electron in the orbit.

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