13.9 At what temperature is the root mean square speed of an atom in an argon gas cylinder equal to the rms speed of a helium gas atom at – 20 °C ? (atomic mass of Ar = 39.9 u, of He = 4.0 u).

<p><strong>13.9&nbsp;</strong>Temperature of the helium atom,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;= – 20 °C = 253 K and temperature of argon atom be =&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></math></span></p><p>Atomic mass of helium,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;= 4.0 u</p><p>Atomic mass of Argon,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;= 39.9 u</p><p>Let&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;be the rms speed of Argon and&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;be the rms speed of Helium</p><p>From the relation of&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mi></mi><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mi>k</mi><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span>&nbsp;we get</p><p>rms speed of Argon,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub><mi mathvariant="normal"></mi><mo>=</mo><mi></mi><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mi>k</mi><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span></p><p>rms speed of Helium,&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>r</mi><mi>m</mi><mi>s</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub><mi mathvariant="normal"></mi><mi mathvariant="normal"></mi><mo>=</mo><mi></mi><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mi>k</mi><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span></p><p>Since both the speeds are equal, we get</p><p><span title="Click to copy mathml"><math><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mi>k</mi><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span>&nbsp;=&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mrow><mn>3</mn><mi>k</mi><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow></msqrt></math></span>&nbsp;or&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math></span>&nbsp;=&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math></span>&nbsp;or&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></math></span>&nbsp;=&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>A</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>H</mi><mi>e</mi></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math></span>&nbsp;=&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mfrac><mrow><mrow><mn>253</mn><mo>×</mo><mn>39.9</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mrow></mfrac></math></span>&nbsp;= 2523.675 K = 2.523&nbsp;<span title="Click to copy mathml"><math><mo>×</mo><msup><mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mrow></msup></math></span>&nbsp;K</p>

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