A block starts moving up an inclined plane of inclination ${30}^{\circ }$ with an initial velocity of $v_0$

It comes back to its initial position with velocity $\frac{v_0}{2}$   . The value of the coefficient $\frac{v_0}{2}$ kinetic friction between the block and the inclined plane is close to $\frac{1}{1000}$ , The nearest integer to ^$I$  is             .

Upward journey

$0-v_0^2=-2\left(\frac{g}{2}+\frac{mg\sqrt[]{3}}{2}\right)s$

$S=\frac{v_0^2}{g(1+\mu \sqrt[]{3})}$

Downward journey

$\frac{v_0^2}{4}-0=2\left(\frac{g}{2}-\frac{4g\sqrt[]{3}}{2}\right)\frac{v_0^2}{g(1+\mu \sqrt[]{3})}$

$\frac{1}{4}=\frac{1-\sqrt[]{3}\mu }{1+\sqrt[]{3}\mu }$

$\frac{5}{3}=\frac{2}{2\sqrt[]{3}\mu }\mathrm{}\Rightarrow \mathrm{}\mu =\frac{\sqrt[]{3}}{5}=\frac{1732}{5}$

$\Rightarrow \mu =0.346$

$\Rightarrow \mathrm{I}=346.00$

<p>Upward journey</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mi>s</mi> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1756293253phptFCopu.jpeg" alt="" width="286" height="237" loading="lazy"></picture></div><div><p>Downward journey</p></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>g</mi> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mfrac> <mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msubsup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <mo>⇒</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1732</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mi>μ</mi> <mo>=</mo> <mn>0.346</mn> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>⇒</mo> <mi mathvariant="normal">I</mi> <mo>=</mo> <mn>346.00</mn> </math> </span></p>

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