A certain charge Q is divided into parts q and (Q – q). How should the charges Q and q be divided so that q and (Q – q) placed at a certain distance apart experience maximum electrostatic repulsion?

Correct Option - 3


Detailed Solution:

$F=\frac{q\left(Q-q\right)}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\Rightarrow \frac{dF}{dq}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left(Q-2q\right)\Rightarrow \frac{dF}{dq}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

Here r is fixed

For maxima or minima of force, its first derivative should be zero.

$\frac{dF}{dq}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left(Q-2q\right)=0\Rightarrow q=\frac{Q}{2}$                

Since second derivative is always negative so maxima will occur at this value of q.

 

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>Q</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>Q</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></p><p>Here r is fixed</p><p>For maxima or minima of force, its first derivative should be zero.</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>q</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>Q</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>⇒</mo> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;&lt;!- [if gte mso 9]>&lt;xml&gt; <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1026" DrawAspect="Content" ObjectID="_1816157126"> </o:OLEObject>&lt;/xml&gt;&lt;! [endif]-&gt;<strong>&nbsp;</strong></p><p>Since second derivative is always negative so maxima will occur at this value of q.</p><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1754631612phpO9XzCR.jpeg" alt="" width="291" height="103" loading="lazy"></picture></div></div><p>&nbsp;</p>

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