A parallel plate capacitor has plates of area A separated by distance ' $d$ ' between them. It is filled with a dielectric which has a dielectric constant that varies as $k (n) = k (1 +$ $α n)$ where ' $x$ ' is he distance measured from one of the plates.

If $(α d) < < 1$ , the total capacitance of the system is best given by the expression:

Option 1 -

$\frac{A K ε_{0}}{d} (1 + \frac{α d}{2})$

Option 2 -

$\frac{A ε_{0} K}{d} (1 + \frac{α^{2} d^{2}}{2})$

Option 3 -

$\frac{A K ε_{0}}{d} (1 + α d)$

Option 4 -

$\frac{A ε_{0} K}{d} [1 + {(\frac{α d}{2})}^{2}]$

2 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Capacitance of element

Capacitance of element, $C^{'} = \frac{K (1 + α x) ε_{0} A}{d x}$ $^{} \frac{_{}}{}$

$\sum \frac{1}{C^{'}} = \int_{0}^{d} ? \frac{d x}{K ε_{0} A (1 + α x)}$

$\frac{1}{C} = \frac{1}{K ε_{0} A α} l n ? (1 + α d)$

Given: $α d ? 1$

$\frac{1}{C} = \frac{1}{K ε_{0} A α} (α d - \frac{α^{2} d^{2}}{2}); \frac{1}{C} = \frac{d}{K ε_{0} A} (1 - \frac{α d}{2})$

$C = \frac{K ε_{0} A}{d} (1 + \frac{α d}{2})$

Capacitance of elementCapacitance of element, <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">'</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>K</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> <math><msup><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msup><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow></mrow></mrow></mfrac></math> <math> <mo>∑</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">'</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msubsup> <mrow> <mrow> <mo>∫</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> </msubsup> <mo>?</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>K</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> <img > <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">K</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi>α</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mo>?</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mo>)</mo> </math> Given: <math> <mi>α</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mo>?</mo> <mn>1</mn> </math> <math></math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>K</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mi>α</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mi>d</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>;</mo> <mrow> <mi mathvariant="normal"> </mi> </mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>K</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> <math> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>K</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </math>

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