A particle is making simple harmonic motion along the X-axis. If at a distances x1 and x2 from the mean position the velocities of the particle are υ 1 a n d υ 2 respectively. The time period of its oscillation is given as:

A particle is making simple harmonic motion along the X-axis. If at a distances x₁ and x₂ from the mean position the velocities of the particle are $υ_{1} a n d υ_{2}$ respectively. The time period of its oscillation is given as:

Option 1 - T = <math> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>

Option 2 - <math> <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>

Option 3 - <math> <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>

Option 4 - <math> <mrow> <mi>T</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mroot> <mrow> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mrow> <mi>υ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math>

2 Views|Posted 6 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

6 months ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

As we know that $υ^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})$ $^{}^{}^{}^{}$ for SHM, so

$υ_{1}^{2} = ω^{2} (A^{2} - x_{1}^{2}) . . . . . . . (i), a n d υ_{2}^{2} = ω^{2} (A^{2} - x_{2}^{2}) . . . . . . . . . (i i)$

Subtracting equation (ii) from equation (i), we have

$υ_{1}^{2} - υ_{2}^{2} = ω^{2} (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) \Rightarrow ω = \frac{2 π}{T} = \sqrt[]{\frac{υ_{1}^{2} - υ_{2}^{2}}{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}} \Rightarrow T = 2 π \sqrt[]{\frac{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}{υ_{1}^{2} - υ_{2}^{2}}}$