(a) Pressure decreases as one ascends the atmosphere. If the density of air is ρ, what is the change in pressure dp over a differential height dh?

(b) Considering the pressure p to be proportional to the density, find the pressure p at a height h if the pressure on the surface of the earth is p₀.

(c) If P_o = 1.03×10⁵ N m^-2, ρ_o = 1.29 kg m^-3 and g = 9.8 m s^-2, at what height will the pressure drop to (1/10) the value at the surface of the earth?

(d) This model of the atmosphere works for relatively small distances. Identify the underlying assumption that limits the model.

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

(a) consider a horizontal parcel of air with cross section A and height dh

Let the pressure on the top surface and bottom surface be P and p+dp. If the parcel is in equilibrium , then the net upward force must be balanced by the weight

(P+dP)-PA=- $\rho Adh\times g$

dP= - $\rho gdh$

negative sign shows that pressure decreases with height.

(b) let $\rho$ _o be the density of air on the surface of earth.

As per question , pressure $\propto$  density

$\frac{P}{P_o}=\frac{\rho }{{\rho }_0}$

$\rho =\frac{{\rho }_o}{P_o}P$

dP= - $\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}Pdh$

$\frac{dP}{p}=-\frac{{\rho }_{o}gdh}{P_o}$

${\int }_{P_o}^P\frac{dP}{P}=-\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}{\int }_0^{h}dh$

In $\frac{P}{P_o}=-\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$

P=P_oe(- $\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$ )

(c) as P =P_{o $e^{\frac{-{\rho }_{o}gh}{P_o}}$}

in $\frac{P}{P_o}=-\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$

p=1/10 P_o

in( $\frac{\frac{1}{10}{P}_o}{P_o}$ ) =- $\frac{-{\rho }_{o}gh}{P_o}$

in1/10 =- $\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}h{\rho }_0$

h=- $\frac{P_o}{{\rho }_{o}g}$ in1/10= - $\frac{P_o}{P_{o}g}in\left(10\right)$ ^-1= $\frac{P_o}{P_{o}g}in\left(10\right)$

= $\frac{P_o}{P_{o}g}\times 2.303$

= $\frac{1.013\times {10}^5}{1.22\times 9.8}\times 2.303=0.16\times {10}^{5}m$

= 16 $\times$ 10³m

(d) we know that

P $\propto \rho$  , temperature remain

...more

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

(a) consider a horizontal parcel of air with cross section A and height dh

Let the pressure on the top surface and bottom surface be P and p+dp. If the parcel is in equilibrium , then the net upward force must be balanced by the weight

(P+dP)-PA=- $\rho Adh\times g$

dP= - $\rho gdh$

negative sign shows that pressure decreases with height.

(b) let $\rho$ _o be the density of air on the surface of earth.

As per question , pressure $\propto$  density

$\frac{P}{P_o}=\frac{\rho }{{\rho }_0}$

$\rho =\frac{{\rho }_o}{P_o}P$

dP= - $\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}Pdh$

$\frac{dP}{p}=-\frac{{\rho }_{o}gdh}{P_o}$

${\int }_{P_o}^P\frac{dP}{P}=-\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}{\int }_0^{h}dh$

In $\frac{P}{P_o}=-\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$

P=P_oe(- $\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$ )

(c) as P =P_{o $e^{\frac{-{\rho }_{o}gh}{P_o}}$}

in $\frac{P}{P_o}=-\frac{{\rho }_{o}gh}{P_o}$

p=1/10 P_o

in( $\frac{\frac{1}{10}{P}_o}{P_o}$ ) =- $\frac{-{\rho }_{o}gh}{P_o}$

in1/10 =- $\frac{{\rho }_{o}g}{P_o}h{\rho }_0$

h=- $\frac{P_o}{{\rho }_{o}g}$ in1/10= - $\frac{P_o}{P_{o}g}in\left(10\right)$ ^-1= $\frac{P_o}{P_{o}g}in\left(10\right)$

= $\frac{P_o}{P_{o}g}\times 2.303$

= $\frac{1.013\times {10}^5}{1.22\times 9.8}\times 2.303=0.16\times {10}^{5}m$

= 16 $\times$ 10³m

(d) we know that

P $\propto \rho$  , temperature remains constant only near the surface of the earth , not at greater heights.

less

<p><span data-teams="true">This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p><strong>(a) </strong>consider a horizontal parcel of air with cross section A and height dh</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474520phpsDDRlt_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745474520phpsDDRlt.jpeg" alt="" width="1200" height="675"></picture></div></div><p>Let the pressure on the top surface and bottom surface be P and p+dp. If the parcel is in equilibrium , then the net upward force must be balanced by the weight</p><p>(P+dP)-PA=-<span contenteditable="false"> <math> <mi>ρ</mi> <mi>A</mi> <mi>d</mi> <mi>h</mi> <mo>×</mo> <mi>g</mi> </math> </span></p><p>dP= -<span contenteditable="false"> <math> <mi>ρ</mi> <mi>g</mi> <mi>d</mi> <mi>h</mi> </math> </span></p><p>negative sign shows that pressure decreases with height.</p><p><strong>(b)</strong> let <span contenteditable="false"> <math> <mi>ρ</mi> </math> </span>_o be the density of air on the surface of earth.</p><p>As per question , pressure <span contenteditable="false"> <math> <mo>∝</mo> </math> </span>&nbsp;density</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>P</mi> </math> </span></p><p>dP= -<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>P</mi> <mi>d</mi> <mi>h</mi> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>d</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>h</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p>In<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>P=P_oe(-<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>)</p><p><strong>(c) </strong>as P =P_{o<span contenteditable="false"> <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span>}</p><p>in<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>p=1/10 P_o</p><p>in(<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>) =-<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>in1/10 =-<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>h</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> </span></p><p>h=- <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>in1/10= -<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </math> </span>^-1=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>g</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mn>2.303</mn> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1.013</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1.22</mn> <mo>×</mo> <mn>9.8</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mn>2.303</mn> <mo>=</mo> <mn>0.16</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>m</mi> </math> </span></p><p>= 16<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> </math> </span>10³m</p><p><strong>(d)&nbsp;</strong>we know that</p><p>P<span contenteditable="false"> <math> <mo>∝</mo> <mi>ρ</mi> </math> </span>&nbsp;, temperature remains constant only near the surface of the earth , not at greater heights.</p>

0 Upvotes 0 Upvotes 0 Downvotes

• • Report Abuse
• Comment