A rail track made of steel having length 10 m is clamped on a railway line at its two ends (Fig). On a summer day due to rise in temperature by 20° C , it is deformed as shown in figure. Find x (displacement of the centre) if αsteel = 1.2× 10^-5 /°C.

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

By applying Pythagoras theorem in given figure

^{${\left(\frac{L+?L}{2}\right)}^2={\left(\frac{L}{2}\right)}^2+x$ 2}

x= $\sqrt[]{{\left(\frac{L+?L}{2}\right)}^2-{\left(\frac{L}{2}\right)}^2}$

=1/2 $\sqrt[]{{(L+?L)}^2-L^2}$

= ½ $\sqrt[]{L^2+{?L}^2+2L?L-L^2}$

=1/2 $\sqrt[]{\left({?L}^2+2L?L\right)}$

As Increase in $?L$  is very small so we neglect it

=1/2 $\times \sqrt[]{2?L}$

$?L=L\alpha ?t$

By using this value in above in equation

x=1/2 $\times \sqrt[]{2L\times L\alpha ?T}$ = ½ L $\sqrt[]{2\alpha ?t}$

= $\frac{10}{2}\times \sqrt[]{2\times 1.2\times {10}^{-5}\times 20}$

= 5 $\times \sqrt[]{4\times 1.2\times {10}^{-4}}$

= 5 $\times 2\times 1.1\times {10}^{-2}=0.11=11cm$

<p><span data-teams="true">This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>By applying Pythagoras theorem in given figure</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745477496php00kWg4_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745477496php00kWg4.jpeg" alt="" width="161" height="93"></picture></div></div><p>^{<span contenteditable="false"> <math> <msup> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>x</mi> </math> </span>2}</p><p>x=<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>=1/2<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mo>?</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>= ½<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <mo>?</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>=1/2<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>As Increase in <span contenteditable="false"> <math> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </math> </span>&nbsp;is very small so we neglect it</p><p>=1/2<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>?</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mo>?</mo> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> <mi>α</mi> <mo>?</mo> <mi>t</mi> </math> </span></p><p>By using this value in above in equation</p><p>x=1/2 <span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>L</mi> <mo>×</mo> <mi>L</mi> <mi>α</mi> <mo>?</mo> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span>= ½ L<span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>α</mi> <mo>?</mo> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>1.2</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mn>20</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>= 5<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>1.2</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span></p><p>= 5<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>1.1</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0.11</mn> <mo>=</mo> <mn>11</mn> <mi>c</mi> <mi>m</mi> </math> </span></p>

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