A rod of mass m and resistance R slides smoothly over two parallel perfectly conducting wires kept sloping at an angle θ with respect to the horizontal (Fig). The circuit is closed through a perfect conductor at the top. There is a constant magnetic field B along the vertical direction. If the rod is initially at rest, find the velocity of the rod as a function of time.

4 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

4 months ago

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

The component of magnetic field perpendicular the plane = Bcosθ

But when there is a motional emf then it is e = Blv=vBcosθd

And current Is I= $\frac{v B c o s θ d}{R}$ but when discuss about force F= llB

And component of force which only act is fcosθ

So force is IBd(cosθ) = $\frac{v B c o s θ d}{R}$ where v=dx/dt

Also component of weight is mg cosθ

So by applying newton second law of motion

m $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = m g s i n θ - \frac{B c o s θ d}{R} (\frac{d x}{d t}) \times (B d c o s θ)$

$\frac{d v}{d t} = g s i n θ - \frac{B^{2} d^{2}}{m R} {(c o s θ)}^{2} v$

$\frac{d v}{d t} + \frac{B^{2} d^{2}}{m R} {(c o s θ)}^{2} v = g s i n θ$

On solving this equation we get

V= $\frac{g s i n θ}{\frac{B^{2} d^{2}}{m R} {(c o s θ)}^{2}} + A e x p (- \frac{B^{2} d^{2}}{m R} {(c o s θ)}^{2} t)$

This is a long answer type question as classified in NCERT ExemplarThe component of magnetic field perpendicular the plane = BcosθBut when there is a motional emf then it is e = Blv=vBcosθdAnd current Is I= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi> </mi> </math> but when discuss about force F= llBAnd component of force which only act is fcosθSo force is IBd(cosθ) = <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">B</mi> <mi mathvariant="normal">c</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi> </mi> </math>  where v=dx/dtAlso component of weight is mg cosθSo by applying newton second law of motionm <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mo>×</mo> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mi>d</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>v</mi> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </math> On solving this equation we getV= <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mi>e</mi> <mi>x</mi> <mi>p</mi> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </math>

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