A shell of mass $m$ is at rest initially. It explodes into three fragments having mass in the ratio $2:2:1$ . If the fragments having equal mass fly off along mutually perpendicular directions with speed $v$ , the speed of the third (lighter) fragment is :

Correct Option - 3


Detailed Solution:

By conservation of momentum:

$\begin{array}{rr}& m\left(0\right)=\frac{2m}{5}(-v\hat{i})+\frac{2m}{5}(-v\hat{j})+\frac{m}{5}{\stackrel{?}{v}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ & \Rightarrow {\stackrel{?}{v}}^{\mathrm{\text{'}}}=2v\hat{i}+2v\hat{j}\\ & \Rightarrow v^{\mathrm{\text{'}}}=\sqrt[]{(2v{)}^2+(2v{)}^2}\\ & =2\sqrt[]{2}v\end{array}$

<div class="photo-widget-full"><div class="figure"><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1756969596phpJCO8cT.jpeg" alt="" width="252" height="94" loading="lazy"></picture></div></div><p>By conservation of momentum:</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="right"> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mo> (</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo> (</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </mrow> <mi>ˆ</mi> </mover> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo> (</mo> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </mrow> <mi>ˆ</mi> </mover> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mo>? </mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">'</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> </mi> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mo>? </mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">'</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </mrow> <mi>ˆ</mi> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mover accent="true"> <mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </mrow> <mi>ˆ</mi> </mover> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> </mi> <mo>⇒</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">'</mi> </mrow> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo> (</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi> </mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mroot> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>v</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </math> </span></p></div></div>

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