Four spheres each of mass m form a square of side d (as shown in figure). A fifth sphere of mass M is situated at the centre of square. The total gravitational potential energy of the system is

Correct Option - 1


Detailed Solution:

Amount of work done to bring mass from infinity to point (1) u₁ = 0

Similarly, to bring mass (2) $u_2=\frac{-Gm}{d}m$

$u_3=-\frac{Gm}{d}\left[\frac{m}{1}+\frac{m}{\sqrt[]{2}}\right]$

$u_4=\frac{-Gm}{d}\left[2m+\frac{m}{\sqrt[]{2}}\right]$

$u_5=\frac{-Gm}{d}\left[4\sqrt[]{2}M\right]$

$U_T=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$

$U_T=\frac{-Gm}{d}\left[\left(4+\sqrt[]{2}\right)m+4\sqrt[]{2}M\right]$

             

     

<div class="photo-widget-full"><div class="figure"><p>Amount of work done to bring mass from infinity to point (1) u₁ = 0</p><p>Similarly, to bring mass (2) <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mn>4</mn> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>M</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mi>M</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751969823phprbVnLi.jpeg" alt="" width="170" height="139" loading="lazy"></picture>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</div></div>&nbsp; &nbsp; &lt;!-- [if gte mso 9]>&lt;xml&gt; <o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1028" DrawAspect="Content" ObjectID="_1813495184"> </o:OLEObject>&lt;/xml&gt;&lt;![endif]--&gt;&nbsp;</div></div>

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