If one mole of an ideal gas at (P₁ V₁) is allowed to expand reversibly and isothermally (A to B) its pressure is reduced to one- half of the original pressure (see figure). This is followed by a constant volume cooling till its pressure is reduced to one-fourth of the initial value (B ® C). Then it is restored to its initial state by a reversible adiabatic compression (C to A). The net work done by the gas is equal to:

Option 1 -

Option 2 -

RT In2

Option 3 -

$R T (I n 2 - \frac{1}{2 (γ - 1)})$

Option 4 -

$- \frac{R T}{2 (γ - 1)}$

3 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

n = 1 mole

$W_{A B} = n R T l n \frac{v_{2}}{v_{1}} = 1 \times R T l n \frac{2 v_{1}}{v_{1}} = R T l n 2$

$W_{B C} = 0$

$W_{C A} = \frac{P_{1} V_{1} - P_{2} V_{2}}{γ - 1} = \frac{\frac{P_{1}}{4} \times 2 V_{1} - P_{1} \times V_{1}}{γ}$

$\Rightarrow W_{C A} = \frac{- R T}{2 (γ - 1)}$

$∴ W_{t o t a l} = R T [l n 2 - \frac{1}{2 (γ - 1)}]$

n = 1 mole<img CYII=" width=" height="182"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mrow> </math> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mi>B</mi> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </math> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <msub> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mrow> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msub> <mrow> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> <math> <mrow> <mo>∴</mo> <msub> <mrow> <mi>W</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mi>o</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>T</mi> <mrow> <mo> [</mo> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math>

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