Moment of inertia of a system made from three uniform rods each of mass m and length l joined to each other, as shown in the figure about one end O and perpendicular to its plane will be

 

Correct Option - 4


Detailed Solution:

$I=I_1+I_2+I_3$

$\Rightarrow I_1=\frac{m{\mathcal{l}}^2}{3}$

$I_2=\frac{m{\mathcal{l}}^2}{12}+\frac{5m{\mathcal{l}}^2}{4}=I_3$

$\Rightarrow I=\frac{m{\mathcal{l}}^2}{3}+2\left[\frac{m{\mathcal{l}}^2}{12}+\frac{5m{\mathcal{l}}^2}{4}\right]$

$=\frac{m{\mathcal{l}}^2}{3}+2\times \frac{1}{12}\left(16\right)m{\mathcal{l}}^2$

$=\left(\frac{1}{3}+\frac{8}{3}\right)m{\mathcal{l}}^2$

$=\frac{9}{3}m{\mathcal{l}}^2=3m{\mathcal{l}}^2$

<div class="photo-widget-full"><div class="figure"><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1758186979phpAdZPQP.jpeg" alt="" width="61" height="56" loading="lazy"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p></div></div>

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