Two charges –q each are fixed separated by distance 2d. A third charge q of mass m placed at the mid-point is displaced slightly by x (x<

T=[8π³ɛ_o md³/q²]^1/2 

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- two charge -q at A and B

AB=AO+OB=2d and x= small distance perpendicular to O

When x

F=qq/4 $\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{x^2}{\left({10}^{-2}\right)2}$ where AP=BP=r but horizontal components gets cancel out each other and vertical components gets add .

If angle APO=O the net force on q along PO is F’= 2Fcos $\times 10$

= $\pi {\epsilon }_0=8.98755\times {10}^{9}N{m}^2{C}^{-2}$ = $\pi r^2$

When x $\theta$

K= $\frac{2q^2}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}\frac{x}{r}$ ,F $\frac{2q^{2}x}{4\pi {\epsilon }_o{(d^2+x^2)}^{3/2}}$

Force on charge q is proportional to its displacement from the center O and it is directed towards O

Hence we can say that motion of charge would be simple harmonic

Where w= $\frac{2q^{2}x}{4\pi {\epsilon }_o{d}^3}=kx$   and T= $\frac{2q^2}{4\pi {\epsilon }_o{d}^3}$

T= 2 $\propto x$ = 2 $\sqrt[]{\frac{k}{m}}$ = [8π³?_o md³/q²]^1/2  

<div>This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar</div><p><strong>Explanation- </strong>two charge -q at A and B</p><p>AB=AO+OB=2d and x= small distance perpendicular to O</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741774235phpwPNrDX_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1741774235phpwPNrDX.jpeg" alt="" width="207" height="137"></picture></div><div><p>When x</p><p>F=qq/4<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span>where AP=BP=r but horizontal components gets cancel out each other and vertical components gets add .</p><p>If angle APO=O the net force on q along PO is F’= 2Fcos<span contenteditable="false"> <math> <mo>×</mo> <mn>10</mn> </math> </span></p><p>= <span contenteditable="false"> <math> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>8.98755</mn> <mo>×</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>9</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>N</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span>=<span contenteditable="false"> <math> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </math> </span></p><p>When x<span contenteditable="false"> <math> <mi>θ</mi> </math> </span></p><p>K= <span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span> ,F<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>/</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>Force on charge q is proportional to its displacement from the center O and it is directed towards O</p><p>Hence we can say that motion of charge would be simple harmonic</p><p>Where w=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </math> </span>&nbsp; and T=<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi> </mi> </math> </span></p><p>T= 2 <span contenteditable="false"> <math> <mo>∝</mo> <mi>x</mi> </math> </span>= 2 <span contenteditable="false"> <math> <mroot> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </math> </span>= [8π³?_o&nbsp;md³/q²]^1/2&nbsp;&nbsp;</p></div></div>

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