Two small drops of mercury each of radius R coalesce to from a single large drop. The ratio of total surface energy before and after the change is:

Option 1 -

$2^{\frac{1}{3}} : 1$

Option 2 -

$1 : 2^{\frac{1}{3}}$

Option 3 -

2 : 1

Option 4 -

1 : 2

2 Views | Posted a month ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

a month ago

Correct Option - 1

Detailed Solution:

Total surface energy before coalesce = $U_{i} = 2 \times 4 π R^{2} \times σ = 8 π R^{2} σ . . . . . . . . . . (i)$ $_{}^{}^{}$

Let new radius becomes r, so according to conservation energy we can write

$2 \times \frac{4 π R^{3}}{3} = \frac{4 π r^{3}}{3} \Rightarrow r = 2^{\frac{1}{3}} R$

Total surface energy after coalesce = $U_{f} = 4 π r^{2} \times σ = 2^{\frac{2}{3}} \times 4 π R^{2} σ . . . . . . . . . . (i i)$ $_{}^{}^{\frac{}{}}^{}$

$\Rightarrow \frac{U_{i}}{U_{f}} = \frac{8 π R^{2} σ}{2^{\frac{2}{3}} \times 4 π R^{2} σ} = 2^{\frac{1}{3}} : 1$

Total surface energy before coalesce = <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>σ</mi> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math><mrow><msub><mrow></mrow><mrow></mrow></msub><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><mrow><mrow></mrow></mrow></mrow></math>Let new radius becomes r, so according to conservation energy we can write <math> <mrow> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> <mo>⇒</mo> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mi>R</mi> </mrow> </math> Total surface energy after coalesce = <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>σ</mi> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mi>i</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> <math><mrow><msub><mrow></mrow><mrow></mrow></msub><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow></mrow><mrow></mrow></mfrac></mrow></msup><msup><mrow></mrow><mrow></mrow></msup><mrow><mrow></mrow></mrow></mrow></math> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mi>U</mi> </mrow> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>σ</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mn>1</mn> </mrow> </math>

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Two small drops of mercury each of radius R coalesce to from a single large drop. The ratio of total surface energy before and after the change is:

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