17. Using integration, find the area of the region bounded by the triangle whose vertices are (–1, 0), (1, 3) and (3, 2).

Let A (-1,0),B(1,3) and C (3,2) be the vertices of a triangle ABC

So, equation of line AB is $y-0=\frac{3-0}{1-\left(-1\right)}\left(x-\left(-1\right)\right)$

$=y=\frac{3}{2}\left(x+1\right)$ -------------(1)

Equation of line BC is $y-3=\frac{2-3}{3-1}\left(x-1\right)$

$=y=\frac{-1}{2}\left(x-1\right)+3=\frac{-1}{2}x+\frac{1}{2}+3=\frac{-x}{2}+\frac{7}{2}$ ---------------(2)

Equation of line AC is $y-0=\frac{2-0}{3-\left(-1\right)}\left[x-\left(-1\right)\right]$

$=y=\frac{2}{4}\left(x+1\right)=\frac{1}{2}\left(x+1\right)$ ------------------------------(3)

$\therefore$ Area of $?$ ABC= area ( $?ABE$ ) $+area\left(BCDE\right)$ $-area\left(?ACD\right)$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{y}_{eq(1)}dx+{\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}{y}_{eq(2)}dx-{\displaystyle \underset{-1}{\overset{3}{\int }}{y}_{eq3}dx}}}\\ ={\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{3}{2}\left(x+1\right)dx{\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{-x}{2}+\frac{7}{2}\right)dx-}}{\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{2}\left(x+1\right)}\\ =\frac{3}{2}{\left[\frac{x^2}{2}+x\right]}_{-1}^1+\frac{1}{2}{\left[-\frac{x^2}{2}+7x\right]}_1^{3}dx-\frac{1}{2}{\left[\frac{x^2}{2}+x\right]}_{-1}^3\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{3}{2}\left[\left(\frac{1^2}{2}+1^2\right)-\left(\frac{{\left(-1\right)}^2}{2}+\left(\pi \right)\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3^2}{2}+7\times 3\right)-\left(\frac{-1^2}{2}+7\times 1\right)\right]-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{3^2}{2}+3\right)-\left(\frac{{\left(-1\right)}^2}{2}+\left(-1\right)\right)\right]\\ =\frac{3}{2}\left[\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}+1\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{-9}{2}+21+\frac{1}{2}-7\right]-\frac{1}{2}\left[\frac{9}{2}+3-\frac{1}{2}+1\right]\\ =\frac{3}{2}\left[2\right]+\frac{1}{2}\left[10\right]-\frac{1}{2}\left[8\right]=3+5-4=8-4=4uni{t}^2\end{array}$

<p>Let A (-1,0),B(1,3) and C (3,2) be the vertices of a triangle ABC</p><p>So, equation of line AB is&nbsp;<math><mrow><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math>&nbsp;-------------(1)</p><p>Equation of line BC is&nbsp;<math><mrow><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>7</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>&nbsp;---------------(2)</p><p>Equation of line AC is&nbsp;<math><mrow><mi>y</mi><mo>−</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></math></p><p><math><mrow><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math>&nbsp;------------------------------(3)</p><p><math><mrow><mo>∴</mo></mrow></math>&nbsp;Area of&nbsp;<math><mrow><mo>?</mo></mrow></math>&nbsp;ABC= area (&nbsp;<math><mrow><mo>?</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>E</mi></mrow></math>&nbsp;)&nbsp;<math><mrow><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math>&nbsp;<math><mrow><mo>−</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>e</mi><mi>a</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mo>?</mo><mi>A</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></math></p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1742800922php6jvi7W_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1742800922php6jvi7W.jpeg" alt="" width="250" height="217"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mtable columnalign="left"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mstyle displaystyle="true"> <mrow> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow> <msub> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> 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