27. Find the area enclosed by the parabola 4y = 3x2 and the line 2y = 3x + 12

The given equation of parabola is 4y=3x2⇒x2=43y ------------(1)And the line is 2y=3x+12⇒y=32x+6 ----------------------(2)Solving (1) and (2) for x and y,x2=43(32x+6)=2x+8⇒x2−2x−8=0⇒x2−4x+2x−8=0⇒x(x−4)+2(x−4)=0⇒(x−4)(x+2)=0⇒x=4&x=−2At, x=4,y=32×4+6=6+6=12And x=−2,y=32×(−1)+6=−3+6=3Thus, the point of intersection of (1)&(2)are A(4,12)&B(−2,3)∴ Area of the enclosed region (BOAB)=area (CBAD) – area (OADC) = ∫ − 2 4 y l i n e d x − ∫ − 2 4 y c u r v e d x = ∫ − 2 4 ( 3 2 x + 6 ) d x − ∫ − 2 4 3 x 2 4 d x = [ 3 2 x 2 2 + 6 x ] − 2 4 − [ 3 4 × x 3 3 ] − 2 4 = [ ( 3 4 × 4 2 + 6 × 4 ) − ( 3 4 ( − 2 ) 2 + 6 × ( − 2 ) ) ] − 1 4 [ 4 3 − ( − 2 ) 3 ] = [ 1 2 + 2 4 − 3 + 1 2 ] − 1 4 [ 6 4 + 8 ] = 4 5 − 1 8 = 2 7 u n i t 2

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Application of Integrals Ncert Solutions Maths class 12th Maths Class 12th Application of Integrals

27. Find the area enclosed by the parabola 4y = 3x² and the line 2y = 3x + 12

2 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

4 months ago

The given equation of parabola is $4 y = 3 x^{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{4}{3} y$ ------------(1)

And the line is $2 y = 3 x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + 6$ ----------------------(2)

Solving (1) and (2) for x and y,

$\begin{array}{l} x^{2} = \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x + 6) = 2 x + 8 \\ \Rightarrow x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 4 x + 2 x - 8 = 0 \\ \Rightarrow x (x - 4) + 2 (x - 4) = 0 \\ \Rightarrow (x - 4) (x + 2) = 0 \\ \Rightarrow x = 4 & x = - 2 \end{array}$

At, $x = 4, y = \frac{3}{2} \times 4 + 6 = 6 + 6 = 12$

And $x = - 2, y = \frac{3}{2} \times (- 1) + 6 = - 3 + 6 = 3$

Thus, the point of intersection of (1)&(2)are $A (4, 12) & B (- 2, 3)$

$∴$ Area of the enclosed region (BOAB)

=area (CBAD) – area (OADC)

$\begin{array}{l} = \int_{- 2}^{4} y_{l i n e} d x - \int_{- 2}^{4} y_{c u r v e} d x \\ = \int_{- 2}^{4} (\frac{3}{2} x + 6) d x - \int_{- 2}^{4} \frac{3 x^{2}}{4} d x \\ = {[\frac{3}{2} \frac{x^{2}}{2} + 6 x]}_{- 2}^{4} - {[\frac{3}{4} \times \frac{x^{3}}{3}]}_{- 2}^{4} \\ = [(\frac{3}{4} \times 4^{2} + 6 \times 4) - (\frac{3}{4} {(- 2)}^{2} + 6 \times (- 2))] - \frac{1}{4} [4^{3} - {(- 2)}^{3}] \\ = [12 + 24 - 3 + 12] - \frac{1}{4} [64 + 8] \\ = 45 - 18 = 27 u n i t^{2} \end{array}$

The given equation of parabola is <math><mrow><mn>4</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>⇒</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mi>y</mi></mrow></math> ------------(1)And the line is <math><mrow><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mn>2</mn><mo>⇒</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>6</mn></mrow></math> ----------------------(2)Solving (1) and (2) for x and y,<math><mtable 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