Let q be the angle between the vectors $\overrightarrow{a}and\overrightarrow{b},$ where $\left|\overrightarrow{a}\right|=4,\left|\overrightarrow{b}\right|=3$ and $\theta \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\right)$ . Then ${\left|\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\times \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\right|}^2+4{\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2$  is equal to…………

$\mathrm{}a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta =b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)=c\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)=k$

$a=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta },b=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)},c=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}$

$ab+bc+ca=k^2\frac{\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\right]}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}$

$={\mathrm{k}}^2\left[\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta +2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?(\theta +\pi )\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\frac{\pi }{3}\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}\right]$

$={\mathrm{k}}^2\left[\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta -2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \frac{1}{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}\right]=0$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}??=\frac{(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})\cdot (b\hat{i}+c\hat{j}+a\hat{k})}{\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt[]{b^2+c^2+a^2}}=ab+bc+ca=0$

$?=\frac{\pi }{2}$

$=\frac{1}{56}\times 277.85=496$

$\mathrm{}\pm 1=\left|\begin{array}{lll}1& 1& \lambda \\ 1& 1& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right|\Rightarrow =-\lambda +3=\pm 1$ or $\Rightarrow \lambda =2$

For $\lambda =4$ $$

$\lambda =4$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta =\frac{2+1+4}{\sqrt[]{6}\sqrt[]{18}}=\frac{7}{6\sqrt[]{3}}$