Let the volume of a parallelepiped whose coterminous edges are given by $\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}$ $\stackrel{?}{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k},\stackrel{?}{v}=\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ and $\stackrel{?}{w}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ $\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}\stackrel{}{}$ be 1 cu. Unit. If $\theta$ $$ be the angle between the edges $\stackrel{?}{\mathrm{u}}$ $\stackrel{}{}$ and $\stackrel{}{}$ $\stackrel{?}{\mathrm{w}}$ , then $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta$ $$ can be:

${\left|2\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\right|}^2+4{\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2$

= $4{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$

=4 × 16 × 9 = 576

$\mathrm{}a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta =b\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)=c\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)=k$

$a=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta },b=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)},c=\frac{k}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}$

$ab+bc+ca=k^2\frac{\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\right]}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)}$

$={\mathrm{k}}^2\left[\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta +2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?(\theta +\pi )\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\frac{\pi }{3}\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}\right]$

$={\mathrm{k}}^2\left[\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta -2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \frac{1}{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\theta \cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{2\pi }{3}\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}?\left(\theta +\frac{4\pi }{3}\right)}\right]=0$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}??=\frac{(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})\cdot (b\hat{i}+c\hat{j}+a\hat{k})}{\sqrt[]{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt[]{b^2+c^2+a^2}}=ab+bc+ca=0$

$?=\frac{\pi }{2}$