A rod of length l and negligible mass is suspended at its two ends by two wires of steel (wire A) and aluminium (wire B) of equal lengths (Fig. 9.4). The cross-sectional areas of wires A and B are 1.0 mm2 and 2.0 mm2, respectively. Y_Al=70 $\times {10}^9\mathit{N}{\mathit{m}}^{-2}$ and Y_steel= 200 $\times {10}^9\mathit{N}{\mathit{m}}^{-2}$

(a) Mass m should be suspended close to wire A to have equal stresses in both the wires

(b) Mass m should be suspended close to B to have equal stresses in both the wires

(c) Mass m should be suspended at the middle of the wires to have equal stresses in both the wires

(d) Mass m should be suspended close to wire A to have equal strain in both wires

This is a multiple choice answer as classified in NCERT Exemplar

(b), (d) Let mass m is placed at x from the end B respectively.

T_A and T_B be the tensions in wire A and wire B respectively.

For the rotational equilibrium of the system,

$\sum \tau =0$

T_Bx-T_A(l-x)=0

$\frac{T_B}{T_A}$ = $\frac{l-x}{x}$

Stress in wire A = S_A= $\frac{T_A}{a_A}$

Stress in wire B = S_B= $\frac{T_B}{a_B}$  where a are the area of wire

We know that a_B=2a_A

Now for equal stress

S_A=S_B

$\frac{T_A}{a_A}=\frac{T_B}{a_B}$

So

$\frac{T_B}{T_A}=2$

$\frac{l-x}{x}=2$

So x =l/3 and l-x= 2l/3

Hence mass m should placed to B.

For equal strain

Strain_A= Strain_B

$\frac{Y_A}{S_A}=\frac{Y_B}{S_B}$

$\frac{Y_{steel}}{Y_{Al}}=\frac{T_A}{T_B}\times \frac{a_B}{a_A}=\frac{x}{l-x}\left(\frac{2a_A}{a_A}\right)$

$\frac{200\times {10}^9}{70\times {10}^9}=\frac{x}{l-x}$

After  solving we get x= x= 10l/17

l-x=l=10l/17=7l/17

<p><span data-teams="true">This is a multiple choice answer as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>(b), (d) Let mass m is placed at x from the end B respectively.</p><p>T_A and T_B be the tensions in wire A and wire B respectively.</p><p>For the rotational equilibrium of the system,</p><div><div><picture><source srcset="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745487203php0VxRZM_480x360.jpeg" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/articles/1745487203php0VxRZM.jpeg" alt="" width="242" height="167"></picture></div><div><span contenteditable="false"> <math> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mi>τ</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mrow> </math> </span></div><div><p>T_Bx-T_A(l-x)=0</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> 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wire</p><p>We know that a_B=2a_A</p><p>Now for equal stress</p><p>S_A=S_B</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p>So</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> 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contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>t</mi> <mi>e</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>Y</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>×</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> 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10l/17</p><p>l-x=l=10l/17=7l/17</p></div></div>

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