A stone tide to a string of length L is whirled in a vertical circle with the other end of the string at the centre. At a certain instant of time, the stone is at its lowest position and has a speed u. The magnitude of change in its velocity, as it reaches a position where the string is horizontal, is $\sqrt[]{x\left(h^2-gL\right)}.$  The value of x is

Correct Option - 2


Detailed Solution:

Conservation of Energy b/w (1) & (2)

$\frac{1}{2}m{v}^2+mg\mathcal{l}=\frac{1}{2}m{u}^2$

$v=\sqrt[]{u^2-2g\mathcal{l}}$

$\overrightarrow{\Delta v}=v_{\widehat{j}}-u_{\widehat{i}}$

$\left|\Delta \overrightarrow{v}\right|=\sqrt[]{{\left(u\right)}^2+{\left(\sqrt[]{u^2-2g\mathcal{l}}\right)}^2}$

$=\sqrt[]{u^2+u^2-2g\mathcal{l}}$

$=\sqrt[]{2}\left(u^2-g\mathcal{l}\right)$

x = 2

<p>Conservation of Energy b/w (1) &amp; (2)</p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi mathvariant="script">l</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mover accent="true"> <mrow> <mi>Δ</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mo stretchy="true">→</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mi>j</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mover accent="true"> <mi>i</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </msub> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>Δ</mi> <mover accent="true"> <mi>v</mi> <mo>→</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mrow> <mo> (</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mi mathvariant="script">l</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </math> </span></p><p>x = 2</p><div><div><picture><source srcset="" media=" (max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1751969412phpgqV5VY.jpeg" alt="" width="221" height="103" loading="lazy"></picture></div></div>

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