Find the centre of mass of a uniform (a) half-disc, (b) quarter-disc.

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

let M and R be mass and radius of half disc , mass per unit area of half disc

So m = $\frac{M}{\frac{1}{2}\pi R^2}$

(a) the half disc be supposed to be consist of a large number of semicircular ring of mass dm and thickness dr and radii ranging from r=0 to r=R.

surface area of semicircular ring of radius r and thickness dr = $\frac{1}{2}2\pi rdr=\pi rdr$

so mass of the elementary ring dm = $\pi rdr\times \frac{2M}{\pi R^2}$

dm= $\frac{2M}{R^2}rdr$

if x,y are coordinates of centre of mass of this element,

then (x,y)=(0,2r/ $\pi$ )

so x=0 and y =2r/ $\pi$

let x_cm and y_cm be the coordinates of the centre of mass of the semicircular disc

so x_cm= $\frac{1}{M}{\int }_o^{R}xdm=\frac{1}{M}{\int }_o^{R}0dm=0$

Y_cm= $\frac{1}{M}{\int }_o^{R}ydm=\frac{1}{M}{\int }_0^R\frac{2r}{\pi }\times \left(\frac{2M}{R^2}rdr\right)$

= $\frac{4}{\pi R^2}{\int }_0^R{r}^{2}dr=\frac{4}{\pi R^2}\left[\frac{r^3}{3}\right]$ ₀^R

= 4R/3 $\pi$

Centre of mass of a uniform quar

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This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

let M and R be mass and radius of half disc , mass per unit area of half disc

So m = $\frac{M}{\frac{1}{2}\pi R^2}$

(a) the half disc be supposed to be consist of a large number of semicircular ring of mass dm and thickness dr and radii ranging from r=0 to r=R.

surface area of semicircular ring of radius r and thickness dr = $\frac{1}{2}2\pi rdr=\pi rdr$

so mass of the elementary ring dm = $\pi rdr\times \frac{2M}{\pi R^2}$

dm= $\frac{2M}{R^2}rdr$

if x,y are coordinates of centre of mass of this element,

then (x,y)=(0,2r/ $\pi$ )

so x=0 and y =2r/ $\pi$

let x_cm and y_cm be the coordinates of the centre of mass of the semicircular disc

so x_cm= $\frac{1}{M}{\int }_o^{R}xdm=\frac{1}{M}{\int }_o^{R}0dm=0$

Y_cm= $\frac{1}{M}{\int }_o^{R}ydm=\frac{1}{M}{\int }_0^R\frac{2r}{\pi }\times \left(\frac{2M}{R^2}rdr\right)$

= $\frac{4}{\pi R^2}{\int }_0^R{r}^{2}dr=\frac{4}{\pi R^2}\left[\frac{r^3}{3}\right]$ ₀^R

= 4R/3 $\pi$

Centre of mass of a uniform quarter disc

Mass per unit area of the quarter disc = $\frac{M}{\frac{\pi R^2}{4}}=\frac{4M}{\pi R^2}$

For half disc along yaxis and xaxis =4R/3 $\pi$

less

<p><span data-sheets-root="1">This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar</span></p><p>let M and R be mass and radius of half disc , mass per unit area of half disc</p><p>So m =<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>M</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> </mfrac> </math> </span></p><p><strong>(a)</strong> the half disc be supposed to be consist of a large number of semicircular ring of mass dm and thickness dr and radii ranging from r=0 to r=R.</p><p>surface area of semicircular ring of radius r and thickness dr =<span contenteditable="false"> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </mfrac> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>=</mo> 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