Sometimes a radioactive nucleus decays into a nucleus which itself is radioactive. An example is

³⁸sulphur $\overset{h a l f l i f e}{\to}$ ³⁸Cl $\overset{h a l f l i f e}{\to}$ 38Ar(stable)

Assume that we start 1000 ³⁸S nuclei at time t=0. The number of ³⁸Cl is of count zero at t=0 and will be again zero at t= $\infty$ at what value of t, would the number of counts be a a maximum?

2 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

alok kumar singh | Contributor-Level 10

4 months ago

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT Exemplar

Explanation- let ³⁸S have N₁ active nuclei and ³⁸Cl have N₂ active nuclei

$\frac{d N_{1}}{d t} = {- λ}_{1} N_{1}$ + $λ_{1} N_{1}$

N₁=N_{0
$e^{- λ 1 t}$}

$\frac{d N_{2}}{d t} = {- λ}_{1} N_{2} e^{({- λ}_{1} t)}$ + $λ_{2} N_{2}$

Multiplying by $e^{λ 2 t} d t$ and then integrating both sides we got

N2= $\frac{N_{o} λ_{1}}{λ_{2} - λ_{1}} (e^{- λ 1 t} - e^{- λ 2 t})$

After solving it we get time t= (log $\frac{λ_{1}}{λ_{2}}$ )/ $λ_{1} - λ_{2}$

t= $\frac{l o g \frac{2.48}{0.62}}{2.48 - 0.62}$ = $\frac{2.303 \times 2 \times 0.3010}{1.86} = 0.745 s$

This is a Long Answer Type Questions as classified in NCERT ExemplarExplanation- let 38S have N1 active nuclei and 38Cl have N2 active nuclei <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> + <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> N1=N0 <math> <msup> <mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>λ</mi> <mn>1</mn> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </msup> </math> <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </mrow> </msub> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> </math> + <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msub> </math> Multiplying by <math><msup><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>λ</mi><mn>2</mn><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi><mi></mi></math> and then integrating both sides we gotN2= <math><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mi>o</mi></mrow></mrow></msub><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac><mo>(</mo><msup><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>-</mo><mi>λ</mi><mn>1</mn><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mo>-</mo><mi>λ</mi><mn>2</mn><mi>t</mi></mrow></mrow></msup><mo>)</mo></math>After solving it we get time t= (log <math><mfrac><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mrow><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></math> )/ <math><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></msub></math>t= <math><mfrac><mrow><mrow><mi>l</mi><mi>o</mi><mi>g</mi><mfrac><mrow><mrow><mn>2.48</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>0.62</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>2.48</mn><mo>-</mo><mn>0.62</mn></mrow></mrow></mfrac></math> = <math><mfrac><mrow><mrow><mn>2.303</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>0.3010</mn></mrow></mrow><mrow><mrow><mn>1.86</mn></mrow></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>0.745</mn><mi>s</mi></math>

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