The magnitude of vectors O → A , O → B a n d O → C in the given figure are equal. The direction of O → A + O → B − O → C with x-axis will be:-

Let's say | O A → | = | O B → | = | O C → | = l O A → = l c o s 3 0 ° i ^ + l s i n 3 0 ° j ^ O A → + O B → − O C → = [ l c o s 3 0 ° i ^ + l s i n 3 0 ° j ^ ] + [ l c o s 6 0 ° i ^ + l s i n 6 0 ° ( − j ^ ) ] − [ l c o s 4 5 ° ( − i ^ ) + l s i n 4 5 ° ( + j ^ ) ] = l ( 3 2 + 1 2 + 1 2 ) i ^ + l [ 1 2 − 3 2 − 1 2 ] j ^ t a n θ = l [ 1 2 − 3 2 − 2 2 ] l [ 3 2 + 1 2 + 2 2 ] = 1 − 3 − 2 1 + 3 + 2

The magnitude of vectors $\vec{O} A, \vec{O} B a n d \vec{O} C$ in the given figure are equal. The direction of $\vec{O} A + \vec{O} B - \vec{O} C$ with x-axis will be:-

Option 1 - <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 2 - <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 3 - <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

Option 4 - <math> <mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mroot> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> <mo>−</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>

3 Views|Posted 6 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

6 months ago

Correct Option - 3

Detailed Solution:

Let's say $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = l$

$\vec{O A} = l c o s 30 ° \hat{i} + l s i n 30 ° \hat{j}$

$\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$

= $[l c o s 30 ° \hat{i} + l s i n 30 ° \hat{j}] + [l c o s 60 ° \hat{i} + l s i n 60 ° (- \hat{j})] - [l c o s 45 ° (- \hat{i}) + l s i n 45 ° (+ \hat{j})]$

$= l (\frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt[]{2}}) \hat{i} + l [\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt[]{2}}] \hat{j}$

$t a n θ = \frac{l [\frac{1}{2} - \frac{\sqrt[]{3}}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2}]}{l [\frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2}]} = \frac{1 - \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{1 + \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}}$