Two bodies, a ring and a solid cylinder of same material are rolling down without slipping an inclined plane. The radii of the bodies are same. The ratio of velocity centre of mass at the bottom of the inclined plane of the ring to that of the cylinder is $\frac{\sqrt[]{x}}{2} .$ Then, the value of x is________.

2 Views | Posted 2 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

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Vishal Baghel | Contributor-Level 10

2 months ago

Consider translational motion of a body

mg sinq - f_S = ma .(i)

Consider rotational motion of body about its centre of mass

$f_{S} R = l α \Rightarrow α = \frac{f_{S} R}{l}$ .(ii)

Using the condition of rolling without slipping at contact, we have

$α R = a \Rightarrow \frac{f_{S} R^{2}}{l} = \frac{m g s i n θ - f_{S}}{m} \Rightarrow f_{S} = \frac{l m g s i n θ}{l + m R^{2}}$

Using the condition of static friction, we have

$f_{S} \leq μ N \Rightarrow \frac{l m g s i n θ}{l + m R^{2}} \leq μ m g c o s θ \Rightarrow μ \geq \frac{l t a n θ}{l + m R^{2}} . . . . . . . . . . . (i i i)$

$α = \frac{m g R s i n θ}{l + m R^{2}} \Rightarrow a = α R = \frac{m g R^{2} s i n θ}{l + m R^{2}} = \frac{g R^{2} s i n θ}{k^{2} + R^{2}} . . . . . . . . . . . (i v)$

$t = \sqrt[]{\frac{2 l}{a}} \Rightarrow$ Time required to reach the ground

$\Rightarrow \frac{v_{r i n g}}{v_{c y l i n d e r}} = \sqrt[]{\frac{2 g l R^{2} s i n θ}{k_{r i n g}^{2} + R^{2}}} \times \sqrt[]{\frac{k_{c y l i n d e r}^{2}}{2 g l R^{2} s i n θ}} = \sqrt[]{\frac{\frac{R^{2}}{2} + R^{2}}{R^{2} + R^{2}}} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$

Consider translational motion of a body<img >mg sinq - fS = ma             .(i)Consider rotational motion of body about its centre of mass <math> <mrow> <msub> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mi>l</mi> <mi>α</mi> <mo>⇒</mo> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> .(ii)Using the condition of rolling without slipping at contact, we have <math> <mrow> <mi>α</mi> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>⇒</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mo>−</mo> <msub> <mrow> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> 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Two bodies, a ring and a solid cylinder of same material are rolling down without slipping an inclined plane. The radii of the bodies are same. The ratio of velocity centre of mass at the bottom of the inclined plane of the ring to that of the cylinder is x 2 . Then, the value of x is________.