Which one of the following relations is true for two unit vector $\widehat{A}and\widehat{B}$ $\stackrel{}{}\stackrel{}{}$ making an angle to each other?

Correct Option - 2


Detailed Solution:

$\left|\widehat{A}+\widehat{B}\right|=\sqrt[]{A^2+B^2+2ABcos\theta }$

$=\sqrt[]{1+1+2cos\theta }$

$=\sqrt[]{2\left(1+cos\theta \right)}$

= $\sqrt[]{2\times 2co{s}^2\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$

$\left|\widehat{A}+\widehat{B}\right|=2cos\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$  -(1)

$\left|\widehat{A}-\widehat{B}\right|=\sqrt[]{A^2+B^2-2ABcos\theta }$

$=\sqrt[]{1+1-2cos\theta }$

$=2sin\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$  -(2)

(2) $÷$ $$ (1)

$\frac{\left|\widehat{A}-\widehat{B}\right|}{\left|\widehat{A}+\widehat{B}\right|}=\frac{2sin\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}{2cos\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$

$\Rightarrow \left|\widehat{A}-\widehat{B}\right|=\left|\widehat{A}+\widehat{B}\right|tan\raisebox{1ex}{$\theta $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$

<p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><div><div><picture><source srcset="" media="(max-width: 500px)"><img src="https://images.shiksha.com/mediadata/images/1757335139phpe1RBo5.jpeg" alt="" width="224" height="96" loading="lazy"></picture></div></div><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p>=<span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mroot> <mrow> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <msup> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </math> </span><strong>&nbsp;-(1)</strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <msup> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mi>B</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mroot> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow></mrow> </mroot> </mrow> </math> </span></strong></p><p><strong><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </math> </span>&nbsp;-(2)</strong></p><p><strong>(2) <span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>÷</mo> </mrow> </math> </span><math><mrow></mrow></math>&nbsp;(1)</strong></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> </span></p><p><span contenteditable="false"> <math> <mrow> <mo>⇒</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>−</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mover accent="true"> <mi>A</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mover accent="true"> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mstyle scriptlevel="+1"> <mfrac bevelled="true"> <mrow> <mi>θ</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </math> </span></p>

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