A long straight cable of length l is placed symmetrically along z-axis and has radius a(<0

The cable consists of a thin wire and a co-axial conducting tube. An alternating current I(t) = Io sin (2πνt) flows down the central thin wire and returns along the co-axial conducting tube. The induced electric field at a distance s from the wire inside the cable is E(s,t)= μ_oI_ovcos (2πνt) In (s/a)k.

(i) Calculate the displacement current density inside the cable.

(ii) Integrate the displacement current density across the cross section of the cable to find the total displacement current Id.

(iii) Compare the conduction current I_o with the displacement current I₀^d .

3 Views | Posted 4 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Payal Gupta | Contributor-Level 10

4 months ago

This is a long answer type question as classified in NCERT Exemplar

E(s,t)= $μ_{o} I_{o} \cos ? (2 π v t) I n (\frac{s}{a}) k$

Now displacement current J_d=e_{o
$\frac{d E}{d t} = \frac{ε_{o} d}{d t} [μ_{o} I_{o} \cos ? (2 π v t) I n (\frac{s}{a}) k]$}

= $\frac{μ_{o} ε_{o} I_{o} v d}{d t} [c o s 2 v π t I n (\frac{s}{a}) k]$

= $\frac{v^{2}}{c^{2}} 2 π I_{o} s i n 2 π v t I n (\frac{a}{s}) k$

${\frac{2 π a}{2 λ})}^{2} I_{0} = ({\frac{a π}{λ})}^{2} I_{0}$ = $\frac{2 π I_{0}}{λ_{2}}$ ina/s sin2 $π v t k$

I_d= $\int J_{d} s d s d θ = \int_{0}^{1} J_{s} s d s \int_{0}^{2 π} d θ$

=( $\frac{2 π}{λ}$ )^{2
$I_{o} \int_{0}^{a} \frac{a}{s} s d s s i n π v t$}

= $\frac{a^{2}}{2} {(\frac{2 π}{λ})}^{2} I_{o} s i n 2 π v t \int_{0}^{a} I n (\frac{a}{s}) . d ({\frac{s}{a})}^{2}$

After solving this we get

I_d= $\frac{a^{2}}{4} ({\frac{2 π}{λ})}^{2} I_{0} s i n 2 π v t$

I_d= ${(\frac{2 π a}{2 λ})}^{2} I_{o} s i n 2 π v t = I_{o d} s i n 2 π v t$

I_od= ( ${\frac{2 π a}{2 λ})}^{2} I_{0} = ({\frac{a π}{λ})}^{2} I_{0}$

$\frac{I_{o d}}{I_{o}} = ({\frac{a π}{λ})}^{2}$

This is a long answer type question as classified in NCERT ExemplarE(s,t)= <math> <msub> <mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mi>I</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">cos</mi> </mrow> <mo>?</mo> <mrow> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>v</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfenced> </mrow> </mrow> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mfenced separators="|"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>a</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfenced> <mi>k</mi> </math> Now displacement current Jd=eo <math> <mfrac> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>E</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <msub> <mrow> <mrow> <mi>ε</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>o</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>d</mi> </mrow> </mrow> 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