Motion in two dimensions, in a plane can be studied by expressing position, velocity and acceleration as vectors in Cartesian co-ordinates where are unit vector along x and y directions, respectively and Ax and Ay are corresponding components of (Fig). Motion can also be studied by expressing vectors in circular polar co-ordinates as A=A_rr + $A_{θ} θ$ where ? =r/r=cos $θ i + s i n θ j$ and $θ = - s i n θ i + c o s θ j$ are unit vectors along direction in which ‘r’ and ‘q ’ are increasing.

(a) Express in terms of q.

(b) Show that both q are unit vectors and are perpendicular to each other.

(c) Show that d(r)/dt , where w =dq/dt q and dq/dt = -wr

(d) For a particle moving along a spiral given by r=aqr , where a = 1 (unit), find dimensions of ‘a’.

(e) Find velocity and acceleration in polar vector representation for particle moving along spiral described in (d) above.

2 Views | Posted 3 months ago

Asked by Shiksha User

1 Answer

Answered by

Vishal Baghel | Contributor-Level 10

3 months ago

This is a Long Answer Type Question as classified in NCERT Exemplar

Explanation – r=cos $θ ? + s i n θ$ ?…….1

$θ = - s i n θ ? + c o s θ ?$ …….2

Multiplying eq1 by sin $θ$ and 2 with cos $θ$ and adding

Rsin $θ + θ c o s θ = s i n θ c o s θ ? + {s i n}^{2} θ j + {c o s}^{2} θ ? - s i n θ c o s θ ?$

= ?( ${c o s}^{2} θ + {s i n}^{2} θ$ )=j

= rsin $θ + θ c o s θ = j$

n(rcos $θ - θ s i n θ$ )=i

b)r $θ = c o s θ ? + s i n θ ? (- s i n θ ? + c o s θ ?)$

= -cos $θ s i n θ + s i n θ . c o s θ = 0$ $θ = 90$

c)r=cos $θ ? + s i n θ ?$

dr/dt=d/dt(cos $θ ? + s i n θ ?$ )=w[-cos $θ ? + s i n θ ?$ ]

d)L= M^oLT⁰

e)a=1unit , r= $θ r = θ [c o s θ ? + s i n θ ?]$

v= dr/dt= $\frac{d θ}{d t} r + θ \frac{d}{d t} [c o s θ ? + s i n θ ?]$

v= $\frac{d θ}{d r} r + θ [- c o s θ ? + s i n θ ?] \frac{d θ}{d t}$

= $\frac{d θ}{d t} r + θ w θ = w r +$ w $θ θ$

a= $\frac{d}{d t} [w r + w θ θ] = \frac{d}{d t} [\frac{d θ}{d t} r + \frac{d θ}{d t} (θ θ)]$

a= $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} r + \frac{d θ}{d t}$ $\frac{d r}{d t} + \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} θ θ + \frac{d θ}{d t} \frac{d}{d t} (θ θ)$

= $\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} r + w^{2} θ + \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} θ θ + w^{2} θ + w^{2} θ (- r)$

This is a Long Answer Type Question as classified in NCERT Exemplar Explanation – r=cos <math> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> </math> ?…….1 <math> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> </math> …….2Multiplying eq1 by sin <math> <mi>θ</mi> </math>  and 2 with cos <math> <mi>θ</mi> </math> and addingRsin <math> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>θ</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>θ</mi> <mi>?</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> 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